2014_ivleva

Глава 8

Евклидовы пространства

Вспомним, что в трехмерном пространстве самым удобным базисом, в котором определена координатная форма записи вектора, является ба-

гональны и имеют единичную длину. Получается, что для устройства такого базиса в произвольном линейном пространстве нужно ввести в

нем метрику, т. е. определить длину элементов и угол между ними. В пространстве геометрических векторов мы имеем для этого линейку и транспортир, чего, конечно, нет в произвольном линейном простран-

нейном пространстве определить скалярное произведение, то через него можно определить и метрику. Так вот, линейное пространство с определенным в нем скалярным произведением и называется евклидовым. А теперь перейдем к точным определениям.

8.1.Определение евклидова пространства

Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если в нем каждой паре векторов1 x; y поставлено в соответствие число (x; y),

называемое скалярным произведением векторов x è y, для которого выполняются следующие условия:

1)(x; y) = (y; x);

2)(x1 + x2; y) = (x1; y) + (x2; y);

3)( x; y) = (x; y);

4)(x; x) 0, причем (x; x) = 0 , x = 0.

Таким образом, можно говорить об аксиомах евклидова пространства: они включают в себя 8 аксиом линейного пространства и 4 свойства скалярного произведения.

Нормой в линейном пространстве L называется функция, ставящая в соответствие каждому вектору x 2 L вещественное число kxk, для которого выполняются следующие условия:

1В этой главе под словом вектор следует понимать элемент линейного пространства .

131

1)kxk > 0, åñëè x 6= 0, è k0k = 0;

2)k xk = j jkxk; 2 R;

3) 8x; y 2 L kx + yk kxk + kyk неравенство треугольника.

В евклидовом пространстве E норму можно задать следующим образом:

q

kxk = (x; x):

Корректность этого определения вытекает из соответствующих свойств скалярного произведения и из следующего неравенства Коши Буняков-

ского:

8x; y 2 E j(x; y)j kxk kyk :

Такая норма носит название евклидовой.

Углом между векторами x è y называется угол ' 2 [0; ], косинус которого вычисляется по формуле

(x; y) cos ' = kxk kyk:

Корректность этой формулы также вытекает из неравенства Коши Буняковского.

Векторы x è y называются ортогональными, åñëè (x; y) = 0. Система

векторов x1; : : : ; xn называется ортогональной, если векторы этой системы попарно ортогональны друг другу.

Пример 1. C[0;1] евклидово пространство функций, непрерывных на [0; 1], в котором скалярное произведение определяется равенством:

1

Z

(f; g) = f(t)g(t)dt:

0

Найти нормы функций f(t) = sin t è g(t) = 2t и угол между ними.

Решение

132

: : : ; xnijxi 2 Rg определить скалярное произведение следующим обра-

k=1

C[a;b] (множество всех непрерывных на [a; b] функций) определить скалярное произведение следующим образом:

à) f(x); g(x) = f(a)g(a) + f(b)g(b);

3. Можно ли в линейном пространстве C[a;b] определить норму функ- ции следующим образом:

4.Являются ли ортогональными в пространстве R3 системы векторов: à) (1; 0; 0); (0; 2; 0); (0; 0; 3); á) (1; 1; 2); ( 1; 1; 0); (2; 2; 2)?

5.Даны векторы a = (3; 1; 4; 0; 1) è b = (5; 10; 3; 10; 7) в ортонор-

мированном базисе евклидова пространства. Найдите их нормы и угол между ними.

133

6. Пусть E евклидово пространство матриц второго порядка, в ко-

гочленов P (t) = t2; Q(t) = 2t + 1 и угол между ними.

8. Напишите неравенство Коши Буняковского для евклидова пространства:

à) Rn;

отрезке [0; 1], в котором скалярное произведение определяется равен-

быть задано формулой (a; b) = 2a1b1 + 5a2b2, ãäå a = (a1; a2); b = (b1; b2). Найдите такое скалярное произведение для векторов a = (1; 1) è b = = ( 3; 2).

8.2.Ортогональность векторов. Ортонормированный базис. Ортогонализация базиса

Процесс ортогонализации

Пусть дана произвольная система векторов a1; : : : ; an. Наша задачапостроить эквивалентную2 ей систему попарно ортогональных нену- левых векторов b1; : : : ; bm. Это можно проделать с помощью следующих рекуррентных соотношений:

:

b1 = a1;

: i 1 (ai; bk)

X

bi = ai k=1 (bk; bk)bk:

Некоторые из полученных векторов могут оказаться нулевыми; для за- вершения процесса нужно от них избавиться 3. Применение этих формул

2Т. е. систему векторов с той же линейной оболочкой (см. стр. 103).

3Потому-то и может получиться m векторов вместо n первоначальных.

134

для получения ортогональной системы векторов b1; : : : ; bm носит назва-

íèå процесса ортогонализации Грама Шмидта .

Если векторы a1; : : : ; an представляют собой базис пространства En,

òî m = n è b1; : : : ; bn ортогональный базис En.

Вычислить координаты x1; : : : ; xn вектора x евклидова пространства в некотором ортогональном базисе b1; : : : ; bn позволяют следующие ôîð-

мулы Фурье:

xi = (x; ei) : (ei; ei)

Ортогональный базис евклидова пространства, векторы которого нормированы, т.е. имеют единичную норму, называется ортонормирован-

íûì. Таким образом, базис (e1; : : : ; en) ортонормирован, если

Числа ij называются символами Кронекера.

Åñëè (e1; : : : ; en) ортонормированный базис, то скалярное произве-

дение векторов a = (x1; : : : ; xn) è b = (y1; : : : ; yn), заданных координатами в этом базисе, вычисляется по формуле

(a; b) = x1y1 + x2y2 + + xnyn:

Пример 2. Перейти от базиса a1 = i + j; a2 = 2i k; a3 = i j + k

пространства V3 к ортонормированному базису.

Решение. Перейдем сначала к ортогональному базису, используя процесс ортогонализации:

Непосредственной проверкой легко убедиться, что полученные вектоðы ортогональны. Перейдем теперь к ортонормированному базису fe1; e2; e3g:

135

t

Полученный базис (e1; e2; e3) ортонормированный.

8.2.Задачи

1.Докажите, что любая система попарно ортогональных векторов линейно независима.

2.Докажите, что множество векторов, ортогональных данной системе векторов, образует линейное подпространство.

3.Докажите, не пользуясь формулами Фурье, что координаты векто-

ðà a = (a1; a2; : : : ; an) в ортонормированном базисе e1; : : : ; en вычисля- ются по формулам: ai = (a; ei); i = 1; : : : ; n.

4. В пространстве многочленов степени 6 n скалярное произведение

5. Докажите, что на отрезке [ ; ] система функций 1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x; : : : ; sin nx, cos nx; : : : ортогональна, если скалярное произведение функций определено следующим образом:

Z

(f; g) = f(x)g(x)dx:

6. Применяя процесс ортогонализации, постройте ортогональный базис пространства исходя из базиса:

à) x1 = (1; 2; 2), x2 = ( 1; 0; 1), x3 = (5; 3; 7);

á) x1 = (1; 1; 1), x2 = (3; 3; 1), x3 = ( 2; 0; 6).

7. Проверьте ортогональность следующих векторов и дополните их до ортогонального базиса:

à) e1 = (1; 2; 1; 3), e2 = (2; 1; 3; 1); á) e1 = (1; 1; 1; 3), e2 = ( 4; 1; 5; 0).

136

8. Дополните следующие системы векторов до ортонормированных

xn = (0; : : : ; 0; ann) образует ортогональный базис, то aij 6= 0 ïðè i = j è aij = 0 ïðè i < j.

8.3.Ортогональные и самосопряженные операторы

Пусть ' линейный оператор над евклидовым пространством En. Линейный оператор ' называется сопряженным оператору ', åñëè

8 x; y 2 En ('x; y) = (x; ' y) :

Для всякого оператора ' существует и притом единственный сопря- женный оператор ' . Если в ортонормированном базисе оператор ' èìå- ет матрицу A, то оператор ' имеет матрицу AT.

Оператор ' называется самосопряженным, åñëè ' = ' . Понятно, ÷òî åñëè A матрица самосопряженного оператора в ортонормирован- A = AT. Матрица с таким свойством называется симмет-

симметричной.

Свойства самосопряженного оператора

1.Матрица самосопряженного оператора в любом ортонормированном базисе симметрична.

2.Все характеристические числа самосопряженного оператора вещественны.

3.Различным собственным числам самосопряженного оператора соответствуют ортогональные собственные векторы.

137

4. Åñëè ' самосопряженный оператор над En, òî â En существует ортонормированный базис из собственных векторов ' и матрица оператора в этом базисе имеет вид

00 : : : n

ãäå 1; : : : ; n собственные числа оператора '.

Пример 3. Доказать, что произведение ' двух самосопряженных операторов ' и тогда и только тогда будет самосопряженным, когда ' и перестановочны.

' самосопряженный оператор. Тогда для любых

E справедливо (' x; y) = (x; ' y). Но, поскольку операторы ' è

= (x; ' y) для любых векторов x; y. Сравнивая начало и конец, видим, что оператор ' самосопряженный.

Понятие ортогонального оператора

Линейный оператор ' над евклидовым пространством E называется ортогональным, если он сохраняет скалярное произведение, т. е.

8x; y 2 E (x; y) = ('x; 'y) :

Матрица A ортогонального оператора в некотором ортонормированном

базисе называется также ортогональной и обладает тем характеристи- ческим4 свойством, что ее обратная матрица совпадает с ее транспонированной

AT = A 1:

Пример 4. Доказать, что в евклидовом пространстве E матрица пе-

рехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной.

4Т.е. определяющим.

138

ò. å. ST = S 1.

8.3.Задачи

1.Найдите сопряженный оператор для поворота евклидовой плоскости на угол против часовой стрелки.

2.Найдите ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу линейного оператора в этом базисе, если оператор задан в некотором ортонормированном базисе матрицей:

3. Выясните, можно ли матрицу линейного оператора привести к диагональному виду путем перехода к новому базису. Найдите этот базис и матрицу оператора в этом базисе:

4. В пространстве многочленов степени n 2 задано скалярное про-

изведение: (f; g) = a0b0 + a1b1 + a2b2, ãäå f(t) = a0 + a1t + a2t2 è g(t) = = b0 + b1t + b2t2. Найдите матрицы оператора дифференцирования и

сопряженного ему оператора в базисе: а) 1; t; t2; á) 1; t; 32t2 12.

5.Докажите, что ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный.

6.Является ли оператор поворота евклидовой плоскости на угол

против часовой стрелки ортогональным?

5Равенство верно, поскольку E ортонормирован.

6Равенство верно, поскольку E0 ортонормирован.

139