11. Обратная решетка и сфера Эвальда.
Сегодня самым эффективным методом изучения взаимного расположения атомов является дифракция микрочастиц: фотонов, электронов, нейтронов.
Для наблюдения дифракции необходимо, чтобы длина волны де-Бройля дифрагирующих частиц была меньше периодов кристаллической решетки. Этому условию удовлетворяют фотоны при энергии Е = 5-20 кэВ (рентгеновское и гамма- излучение), электроны при Е = 10-100 эВ, и нейтроны при Е = 0,01- 0,1 эВ (тепловые нейтроны с энергией порядка kT). При анализе этого и других явлений (движение электронов в потенциальном поле, рассеяние фотонов), связанных с периодическим расположением частиц, важную и полезную роль играет обратная решетка.
ОБРА́ТНАЯ
РЕШЕТКА,
точечная трехмерная решетка в абстрактном
обратном пространстве, где расстояния
имеют размерность обратной длины.
Обратная решетка, соответствующая любой
прямой решетке, описывающей реальную
структуру кристалла, строится следующим
образом:
1. Если обычная прямая решетка построена на векторах трансляций a,b,c, то оси обратной к ней решетки a*,b*,c* определяются как векторные произведения: a* = bc, b* = ca, c* = ab
2. Осевые параметры обратной решетки a*,b*,c* равны обратным величинам межплоскостных расстояний плоских сеток прямой решетки, нормальных к этой оси.
Т. е. вектор обратной решетки H*hkl нормален к каждой плоскости прямой решетки (hkl), а его длина определяется как величина, обратная межплоскостному расстоянию dhkl.
Решетка с вектором H*hkl, построенная на базисных векторах a*,b*,c* называется обратной решеткой, векторы a*,b*,c* — координатными векторами обратной решетки.
Каждой плоскости (hkl) прямой решетки отвечает в обратной решетке узел [[hkl]]*. Бесконечному семейству параллельных плоскостей hkl в пространстве прямой решетки соответствует в пространстве обратной решетки бесконечное семейство точек [[hkl]]* вдоль направления, нормального к этим плоскостям.
Зоне плоскостей прямой решетки отвечает сетка из точек (узлов) обратной решетки, причем ось зоны прямой решетки нормальна к плоскости сетки обратной решетки. Прямой пространственной решетке из плоскостей hkl отвечает обратная трехмерная решетка из точек [[hkl]]*.
Основные векторы a*,b*,c* обратной решетки определяются также скалярными произведениями:
aa* = bb* = cc* = 1;
a*b = a*c = b*c = b*a = c*b = c*a = 0
Прямая и обратная решетка сопряжены взаимно, т. е. решетка, построенная на осях a,b,c, является обратной по отношению к решетке a*,b*,c*, а решетка, построенная на векторах a*,b*,c*, - обратной по отношению к решетке a,b,c.
Физический смысл обратной решетки
Обратная решетка является важным математическим образом, находящим многочисленные применения в геометрической кристаллографии, в теории дифракции и структурном анализе кристаллов, в физике твердого тела.
Например, понятие обратной решетки используется для описания периодического распределения отражающей способности кристалла по отношению к рентгеновским лучам. Отражение рентгеновских лучей от плоскостей структуры кристалла описывается формулой Вульфа-Брэгга, из которого следует, что при постоянной длине волны рентгеновского излучения l большому межплоскостному расстоянию для семейства параллельных отражающих плоскостей d отвечает малый угол падения q, т. е., чем больше межплоскостное расстояние, тем ближе направления отраженных лучей к направлению падающего пучка. Отражения рентгеновских лучей от бесконечно протяженных идеальных кристаллов должны быть точечными.
Каждый узел обратной решетки соответствует возможному отражению от плоскостей прямой решетки кристалла. Направление вектора обратной решетки H*hkl совпадает с направлением отражения от плоскостей hkl в прямой решетке, а n-ый узел обратной решетки в этом ряду отвечает отражению n-го порядка от этих плоскостей.
Сфера Эвальда
Для предсказания углов поворота кристалла и направления дифрагированных лучей очень удобно пользоваться построением Эвальда.
Отложим
волновой вектор k0
падающей на кристалл волны, так что его
конец совпадет с узлом 0 0 0 обратной
решетки. Поскольку частота и скорость
рассеянной и падающей волны совпадают,
вектор рассеянной волны k1
будет иметь ту же длину, что и k0,
но неопределенное направление, тогда
его удобно изобразить в виде сферы
(сферы Эвальда) с центром в начале вектора
k0.
Начало и конец вектора рассеяния тогда
будет соответственно концом вектора
k0
и концом вектора k1.
Теперь надо узнать, совпадет ли один из
возможных векторов G
с одним из узлов обратной решетки. Для
этого следует совместить начальный
узел обратной решетки с началом вектора
рассеяния G
(эта же точка - конец вектора k0)
и посмотреть, попал ли один из узлов на
сферу Эвальда. Ясно, что вероятность
попадания одного из точечных узлов на
сферу практически равна нулю, чтобы
такое попадание имело место, необходимо
повернуть кристалл и связанную с ним
обратную решетку. Теперь уже с помощью
геометрии можно вычислить необходимые
углы поворота обратной решетки (и
кристалла), а затем определить, под
какими углами должен быть расположен
детектор излучения, регистрирующий
волны с вектором k1.
Современные приборы для наблюдения
дифракции - дифрактометры, снабженные
ЭВМ, позволяют в автоматическом режиме,
по формулам, описывающим повороты
обратной решетки, вычислять нужные углы
поворота кристалла и детектора излучения
для заранее сориентированного кристалла,
а затем поворачивать кристалл и детектор.