Кинематика одномерного движения

Закон движения материальной точки .

Скорость материальной точки:

.

Ускорение материальной точки

.

Средняя скорость

.

Равнопеременное движения материальной точки

=const,

,

.

Вращательное движение тела

Угловая скорость

.

Угловое ускорение

.

Связь линейной и угловой скорости

,

[…] – означает векторное произведение векторов, где r – радиус–вектор с началом в любой точке оси вращения.

В случае равномерного вращения тела для любой точки нормальное ускорение

.

Тангенциальное ускорение

,

где R – расстояние от оси вращения.

8.1.2. Динамика

Второй закона Ньютона

или,

где импульс равен;F – равнодействующая всех сил, действующих на тело.

Для системы из N материальных точек импульс системы равен

.

Поступательное движение системы характеризуется движением ее центра масс:

,

где ,,,,

где – радиус-вектор центра масс системы; – радиус-вектор i-й частицы с массой _.

Сила гравитационного притяжения между двумя телами массой и равна

,

где r – расстояние между центрами масс этих тел; – постоянная тяготения.

Сила тяжести (для Земли)

,

где м/с² – ускорение свободного падения.

Сила трения скольжения

,

где – коэффициент трения скольжения;N – сила нормального давления.

8.1.3. Законы сохранения энергии, импульса, момента импульса

Элементарная работа силы F, затраченная на перемещение dl,

,

где – угол междуF и dl.

Мощность силы

,

где – угол междуи.

Работа сил поля равна убыли потенциальной энергии частицы в данном поле:

.

Приращение кинетической энергии равно

,

где – работа всех сил, действующих на тело.

Приращение полной механической энергии равно

,

где – полная механическая энергия;– работа внешних сил.

Система называется замкнутой (изолированной), если она не обменивается с внешней средой энергией и веществом.

В замкнутой системе полный импульс системы сохраняется:

.

Абсолютно упругий центральный удар двух тел

Пусть тела движутся вдоль линии, соединяющей их центры масс. в случае сохранения полной механической энергии в процессе столкновения суммарный импульс тоже сохраняется, а скорости тел после столкновения находятся по формулам

,

,

где – скорости тел до столкновения;– скорости тел после столкновения.

Абсолютно неупругий центральный удар двух тел

В этом случае тела после столкновения имеют одинаковые скорости :

,

где – скорости тел до столкновения;– скорость тел после столкновения.

8.1.4. Механика твердого тела

Момент силы относительно некоторой точки О есть

,

где – радиус-вектор, проведенный в точку приложения силы.

Момент импульса относительно некоторой точки О есть

,

где – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку, где находится частица.

Изменение момента импульса определяется из уравнения

,

где – момент всех внешних сил, действующих на частицу.

Для замкнутой системы момент всех внешних сил равен нулю, тогда полный момент импульса сохраняется:

.

Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси , уравнение динамики вращательного движения имеет вид

или,

где – проекция углового ускорения на ось;– проекция суммарного момента внешних сил на ось;– момент инерции тела относительно оси; заметим, что.

Момент инерции I относительно произвольной оси определяется согласно теореме Штейнера

,

где – момент инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс;– расстояние между осями.

Моменты инерции ряда тел приведены в табл. 1

Таблица 1