1.17 . Предельные теоремы в схеме Бернулли: формула Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавры-Лапласа.

Локальная теорема Лапласа. Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях очень трудно. Например, еслиn=50, m=30, p=0,1, то для отыскания вероятности P_30,50 надо вычислить значение выражения

Естественно, возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую вероятность, не используя формулу Бернулли? Оказывается, можно. Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления событий ровно раз виспытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Теорема 3.1. Если вероятность P появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность P_m,n того, что событие A появится в n испытаниях ровно m раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции

 при . Существуют таблицы, которые содержат значения функции, соответствующие положительным значениям аргумента. Для отрицательных значений аргумента используют те же таблицы, так как функциячетна, т. е..

Итак, приближенно вероятность того, что событие A появится в n испытаниях ровно m раз,

где .

Интегральная теорема Лапласа

Предположим, что проводится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A постоянна и равна P. Необходимо вычислить вероятность P(m1,m2),n того, что событие A появится в n испытаниях не менее m1 и не более m2 раз (для краткости будем говорить "от m1 до m2 раз"). Это можно сделать с помощью интегральной теоремы Лапласа.

Теорема 3.2. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то приближенно вероятность P(m1,m2),n того, что событие A появится в испытаниях от m1 до m2 раз,

 где .

Формула Пуассона для маловероятных событий

Если вероятность P наступления события в отдельном испытании близка к нулю, то даже при большом числе испытаний n, но при небольшом значении произведения np получаемые по формуле Лапласа значения вероятностей Pm,n оказываются недостаточно точными и возникает потребность в другой приближенной формуле.

Теорема 3.3. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна, но мала, число независимых испытаний n достаточно велико, но значение произведения  np=𝜆 остается небольшим (не больше десяти), то вероятность того, что в этих испытаниях событие A наступит m раз,

1.18 Схема Бернулли. Наивероятнейшее число

Вероятности Р_n(k) при данном n сначала увеличиваются при увеличении k от 0 до некоторго значения k_0, а затем уменьшаются при изменении k от k₀ до n. Поэтому k₀ называют наивероятнейшим числом наступления события А в n испытаниях.

Наивероятнейшее число k₀ определяется из неравенств np-q≤k≤np+p. В этом неравенстве k может быть только целым числом. Когда np целое число, то k=np. Если np+p и np-q целые числа, то наивероятнейших чисел наступления события будет два k₀ ⁽¹⁾= np-q и k₀ ⁽²⁾=np+p и их вероятности будут равны Р_n (k₀ ⁽¹⁾)= Р_n (k₀ ⁽²⁾).