2.5. Произведение д.С.В. Независимость.

Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того какое значение принимает другая случайная величина. Понятие зависимости случайных величин является очень важным в теории вероятностей. Условные распределения независимых случайных величин равны их безусловным распределениям. Определим необходимые и достаточные условия независимости случайных величин.

Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X, Y) была равна произведению функций распределения составляющих.

Аналогичную теорему можно сформулировать и для плотности распределения:

Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы (X, Y) была равна произведению плотностей распределения составляющих.

2.6. Функция распределения. Свойства.

С помощью функции распределения F(x), определяющей для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x, т.е. F(x) = P(X < x). F(x) есть неубывающая, непрерывная слева функция удовлетворяющая свойствам :

2.7. Функция распределения случайной дискретной величины.

Функция распределения случайной величины - это вероятность того, что случайная величина (назовём её k) примет значение меньшее, чем конкретное числовое значение x: F(X) =

2.8. Плотность распределения. Свойства.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины x называют функцию f(x) — первую производную от функции распределения F(x):

f(x)=F’(x)

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

Свойства плотности распределения

1. Плотность распределения — неотрицательная функция f(x)>=0.

2.2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -∞ до  равен единице: Условие нормировки:

Геометрически основные свойства плотности f(x) интерпретируются так:

- вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;

- полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

2.9. Числовые характеристики случайных величин. Мат ожидание. Свойства мат ожидания.

Математическое ожидание дискретной случайной величины есть сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности: M(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + ... + x_np_n

Свойства математического ожидания. 1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине: М(С) = С 2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ) = С·М(Х) 3) Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: М(Х₁ + Х₂ + …+ Х_n) = М(Х₁) + М(Х₂) + ... + М(Х_n) 4) Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей: М(Х₁ · Х₂ · ... · Х_n) = М(Х₁) · М(Х₂) · ... · М(Х_n)