1.5 Учет влияния электрического поля на процесс диффузии примеси:

а) Гидродинамическая аналогия. Диффузионный и конвективный механизмы распространения вещества. Уравнение переноса. Качественный вид решения.

Рассмотрим реку, которая движется со скоростью v=const. С₀-источник загрязнения.

Граничные условия

x=0 t=0 x→∞

C(0,t)=C₀ C(x,0)=0 C(∞,t)=0

Постоянный Источник загрязнений	Загрязнение в начальный момент времени	Река без примесей

(1)

Диффузионный член

Конвективный член

Конвекция обусловлена движением реки

1. V- скорость реки, С(x;t) – концентрация вещества, VC_x – конвекционный поток

2. Поток обусловленный диффузией D* C_xx

Из этих двух условий напишем уравнение переноса:

x;t)=1/2 D*C_xx – V*C_x

Уравнение (1) имеет решение

б) Запись диффузионной модели в приближении эффективного коэффициента диффузии с полным математическим обоснованием двумя способами;

Если

, где

Нужно найти . Предположим, что концентрация электронов и дырок связаны статистикой Больцмана

1. перемножим p*n

p*n= n_i²

2. Предположим , что поле E=const

C_д– концентрация донорной примеси

p+c=n – условие электрической нейтральности

-2n_i* sh(=-C

sh( (нужно для того чтобы найти напряженность поля)

в) Построение графика зависимости собственной концентрации от температуры в диапазоне от 800С до 1200С в форме Аррениуса. Построение графика зависимости коэффициента ускорения диффузии от переменной С/ni. Выводы

Изграфика видно, что,

если C<ni (т.е. концентрация мала), то добавка мала и ей можно пренебречь.

если С>ni , то добавка увеличивается в 2 раза.

1.6 Графики распределения концентрации примеси для трех временных значений - случай, когда доза постоянна и не связана с диф. Длинной

Для дискретного источника примеси (, распределение по Гауссу):

На графиках (9.1) и (9.2) показано распределение концентрации легирующей примеси при различных временных значениях: , и .

График 9.1 Распределение легирующей примеси.

График 9.2 Распределение легирующей примеси с логарифмической шкалой.

Из графиков видно, что с увеличением времени легирующая примесь как бы расплывается в веществе, стараясь принять более равномерное распределение и соответственно чем дальше примесь уходит в глубь вещества, тем меньше становится поверхностная концентрация на границе вещества.

Распределение при бесконечном источнике примеси ( распределение по erfc):

Аналогично графикам распределения примеси по Гауссу, на графиках (9.3) и (9.4) показано распределение по erfc для тех же временных значений:

График 9.3 Распределение легирующей примеси при бесконечном источнике.

График 9.4 Распределение легирующей примеси при бесконечном источнике с логарифмической шкалой.

Как видно с увеличением времени увеличивается глубина внедрения примеси, а также её доза (площадь под кривой). Так как в данном случае источник примеси бесконечный примесь внедряется с максимальной скоростью а поверхностная концентрация является постоянной.

1.7 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ:

а) Вычислить время процесса для диффузии бора с постоянной дозой в n-кремниевой подложке при следующих условиях:

Дано:Т=1100С; Cs=4*10¹⁷ см^-3; Xj=3мкм; Св=10^-15см^-3

Решение:

Доза постоянна. Решение в процессе разгонки имеет вид:

- функция Гаусса (Гауссиан)

Величина поверхностной концентрации есть функция от времени:

Параметры коэффициента диффузии, для случая малых концентраций легирующей примеси бора в кремнии (справочные данные):

Коэффициент диффузии при температуре 1100 :

Время диффузии из функции Гаусса:

б) Вычислить время процесса для диффузии бора с постоянной поверхностной концентрацией в n-кремниевой подложке при следующих условиях:

Т=950С; Cs=2,5*10²⁰ см^-3; внедренная доза – из предыдущей задачи;

Дано:, Сs=const, ,

Решение:

внедренная доза:

- функция Гаусса (Гауссиан)

Величина поверхностной концентрации есть функция от времени:

Время:

с) Решение задачи о загонке мышьяка

Мышьяк загоняется в кремниевую пластину с концентрацией бора Св=10¹⁵ атом/см³ из газовой фазы при Т=1200С. При этом общая доза введенной примеси на единицу площади равна 10¹⁴ атомов/см². Определите время загонки мышьяка, если глубина p-n перехода составила 1 мкм. В данной задаче принять, что параметры коэффициента диффузии для мышьяка равны – D₀=24 см²/с, а Е_А=4,08 эВ.