Министерство науки и образования РФ
Новосибирский Государственный Технический Университет
Кафедра ПП и МЭ
Лабораторная работа №1
Модели диффузионных процессов для планарной технологии
Факультет: РЭФ Группа: РМС7-11 Студент: Нечаева М.В. Преподаватель: Черкаев А. С. Отметка о защите:_______
г. Новосибирск, 2013
-
Вывод обыкновенного уравнения диффузии в случаях:
а) в случае одномерного приближения
Имеется полупроводниковая пластина бесконечной длины. Выделим определенную область (x; x+△x) и рассмотрим в определенный момент времени (t;t+△t). Для того чтобы рассчитать скорость изменения концентрации, нужно взять интеграл по всему объему, он равен разности потоков через боковые стенки.
Источник диффузии
W(x)
W(x+∆x)
0
x+∆x
x
x
при △x→0 получаем однородное уравнение диффузии
Изменение концентрации вещества со временем в объеме
=
Уменьшению диффузионного потока в том же направлении
Где W – поток внедряемой примеси внутри вещества
,
D=
– тепловой потенциал
Z =
б) случае трехмерного приближения
Выделим элемент dS.
dS
Для определения потока примеси плотностью W через элементарный объем берем двойной интеграл.
Устремляем элементарный объем к нулю:
= - Dc
-
Запись диффузионной модели в виде ящика
D
z
E
µ
T,t
Модель
С(x,t)
Входные параметры:
D=(µkT)⁄q – коэффициент диффузии
µ - подвижность,
k – постоянная Больцмана,
q – элементарный заряд,
T – температура,
t – время.
Выходные параметры:
С(х) – распределение дифундирующего вещества
-
Построение в EXCEL графиков Аррениуса для коэффициентов диффузии бора, фосфора, мышьяка и сурьмы в кремниевой пластине и определение коэффициента диффузии этих примесей по графику для Т=1000°С
-
Анализ диффузионной модели:
а) Проверка идентичности размерностей различных слагаемых в уравнении диффузии:
б) Анализ математического типа уравнения в диффузионной модели:
Типы уравнений: эллиптические, гиперболические, параболические.
- уравнение в частных производных
Дискриминант Д = B2-4AC
Если Д=0 – параболический тип уравнения
Д>0 – гиперболический
Д<0 – эллиптический
А=D; B=0; C=0
B2-4AC=0-0=0 => параболическое уравнение.
в) Описание краевых задач, имеющих аналитическое решение:
— Для точечного диффузионного источника (модель диффузии с постоянной дозой); качественный вид решения для трех временных моментов:
t
t0
0
x
t1
t2
Уравнение диффузии (первый закон Фика):
Область моделирования:
Начальные условия:
t=0
Граничные условия:
-
x=0
-
x→∞
C(∞;t)=0
Количество внедренной примеси Q(t) – доза- за время загонки t задается интегралом:
Решением этой краевой задачи является уравнение Гаусса:
— Для диффузионной загонки примеси с постоянной поверхностной концентрацией; качественный вид решения для трех временных моментов:
С
Уравнение диффузии (первый закон Фика):
Область моделирования:
Граничные условия:
-
при x→0
-
при x→∞
Начальные условия:
t=0
Решением этой краевой задачи будет дополняющая функция ошибок erfc(x)
Cs
t2
t1
0
x
t=0
-График спец. функций erf(z) и erfc(z) с описанием их математических свойств:
В математике функция ошибок (функция Лапласа) — это неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как
.
Дополнительная функция ошибок, обозначаемая определяется через функцию ошибок:
.
Свойства:
-
Функция ошибок не может быть представлена через элементарные функции, но, разлагая интегрируемое выражение в ряд Тейлора и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда:
для
при
-Расчет дозы легирования и поверхностной концентрации для случаев:
а) распределения примеси по Гауссу;
б) распределения примеси по erfc(z);
а) Для случая распределения примеси по Гауссу
Распределение примеси по Гауссу имеет вид:
Найдем внедренную дозу , проинтегрировав концентрацию примеси по всей области моделирования:
Этот интеграл является табличным интегралом
Поверхностная концентрация находится из условия:
|
|
Отсюда видно, что поверхностная концентрация примеси уменьшается со временем, что и характерно для диффузии примеси из точечного источника.
б) Для распределения по
Распределение примеси по erfc имеет вид:
Вся доза поступает непосредственно через границу вещества в точке , её можно найти проинтегрировав по всему промежутку времени поток внедряемой примеси через эту границу.
Найдем выражение для потока:
При бесконечном источнике, внедренная доза является функцией времени.
|
|
г)Задача с неоднородными начальными условиями
Под неоднородными условия подразумевается то, что изначально пластина не является чистой.
Начальные условия:
С’ (x,0)=0
Граничные условия:
С’(0,t)=Cs – C0 ( пластина легирована на поверхности)
С’=(Cs – C0)*erfc
Частный случай: Cs = 0 (пластина легирована однородно), в таком случае задача сводиться к задаче с однородными условиями.
С
0
x
Cs
t=0
t1
t2
Примесь отходит от границы
-
Учет влияния электрического поля на процесс диффузии примеси:
а) Гидродинамическая аналогия. Диффузионный и конвективный механизмы распространения вещества. Уравнение переноса. Качественный вид решения.
Рассмотрим реку, которая движется со скоростью v=const. С0-источник загрязнения.
Граничные условия:
Постоянный источник загрязнения:
x=0
C(0,t)=C0
Загрязнение в начальный момент:
t=0
C(x,0)=0
Река без примеси:
x→∞
C(∞,t)=0
(1)
Конвекция обусловлена движением реки
-
V- скорость реки, С(x;t) – концентрация вещества, VCx – конвекционный поток
-
Поток обусловленный диффузией D* Cxx
Из этих двух условий напишем уравнение переноса:
x;t)=1/2 D*Cxx – V*Cx
Уравнение (1) имеет решение
С
Сs
t1
t2
x
б) Запись диффузионной модели в приближении эффективного коэффициента диффузии с полным математическим обоснованием двумя способами:
Если
, где
.
Предположим, что концентрация электронов и дырок связаны статистикой Больцмана
-
перемножим p*n
p*n= ni2
-
Предположим , что поле E=const
Cд– концентрация донорной примеси
p+c=n – условие электрической нейтральности
-2ni* sh(=-C
sh(
; ;
Подставляем в уравнение и выражаем
Подставляя в выражение выше поток:
в) Построение графика зависимости собственной концентрации от температуры в диапазоне от 800С до 1200С в форме Аррениуса. Построение графика зависимости коэффициента ускорения диффузии от переменной С/ni. Выводы
Изграфика видно, что,
если C<ni (т.е. концентрация мала), то добавка мала и ей можно пренебречь.
если С>ni , то добавка увеличивается в 2 раза.