1.2. Основные операции теории множеств

На булеане определяются операции над множествамии.

Объединением множествA иBназывается множествоAB, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множествA,B, т.е.AB={x|xA или xB}.

ПересечениеммножествA иBназывается множествоAB, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат каждому из множествAиB, т.е.AB={x|xA и xB}.

Объединение или пересечение некоторой совокупности (более двух элементов) множеств может быть записано следующим образом:

а) () – объединение (пересечение) всех множеств, являющихся элементами множестваS;

b)() – объединение (пересечение) множеств, где индексiпробегает все значения множестваI;

c)() – объединение (пересечение) множеств, где индексiпробегает все значения от 1 доk;

d)() – объединение (пересечение) бесконечного количества множеств.

РазностьюмножествA иBназывается множествоA\B, состоящее из всех тех элементов множестваA, которые не принадлежат множествуB, т.е.A\B={x | xAи xB}.

Симметрической разностью множеств A и B называется множествоAB, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат только одному из множествA,B, т.е.AB={x | xA и xB или xA и xB}=(A\B)(B\A).

Дополнениемк множествуA называется множество , состоящее из всех тех элементов универсумаU, которые не принадлежат множествуA, т.е.=U\A.

Старшинство операций (операции даны по убыванию приоритетов)

\



Пример 9.ПустьU= {a,b,c,d,e,f,g},A = {a,b,c,d},B = {c,d,e,f}. Определить AB, AB, A\B, B\A, AB, ,.

AB={a, b, c, d, e, f}; AB={c, d};

A\B={a, b}; B\A={e, f}; AB={a, b e, f};

={e, f, g}; ={a, b, g}

Пример 10.Доказать, что для произвольных множествAиB, если, то.

Необходимо доказать, что , поэтому структура доказательства будет иметь вид: «Пусть, тогда …, …, тогда».

Пусть , тогда по определению дополнения, гдеU– универсальное множество. По определению разности множеств, из того, что, следует, чтои. По условию задачи известно, что, т.е., что все элементы множестваAесть в множествеB. Так как, то элементаa в множествеB нет, а следовательно, его нет и в множествеA. Если элементаa нет в множествеA, то можно записать, что. Итак, мы установили, чтои, а это значит, что.

Аналогично доказывается обратное утверждение: если , то.

Такие доказательства можно сократить, если использовать следующие обозначения:

– символ «» в выражениях типаPQбудет означать, что «если справедливоP, то справедливоQ» или «из того, чтоP, следуетQ» и т.п.;

– символ «» будет означать: «тогда и только тогда, когда», «если и только если» и т.п;

– символы «df» будут заменять слово «определение».

Покажем на следующем примере, как выглядит доказательство с использованием этой символики, при этом договоримся над символами «», «», если это необходимо, писать пояснения.

Пример 11.Доказать, что если, то.

.

Обозначения наиболее часто используемых множеств

N– множество всех натуральных чисел (т. е.);

Z– множество всех целых чисел;

Z⁺– множество целых неотрицательных чисел (Z⁺ =N{0});

Z^–– множество целых неположительных чисел (Z^– =Z\N);

Q– множество всех рациональных чисел;

R– множество всех действительных чисел;

R⁺– множество неотрицательных действительных чисел;

R^–– множество неположительных действительных чисел.