Глава 4.Логика предикатов

Предикат(лат.praedicatum– сказанное) – то, что высказывается в суждении об объекте. Предикат отображает наличие того или иного признака у предмета.

В математической логике n-местнымпредикатомназывается функцияP(x₁,x₂, ...,x_n), переменные которой принимают значения из некоторого множестваM(обычно оно определяется математическим контекстом), а сама она принимает два значения: И (истинное) и Л (ложное), т.е.

P(x₁, x₂,..., x_n): .

Предикаты обозначаются прописными буквами латинского алфавита. Иногда бывает удобно указывать число переменных у предикатов. В таких случаях у символов предикатов пишут верхний индекс, который и указывает число аргументов, например: P⁽ⁿ⁾ (x₁,x₂, ...,x_n) –n-местный предикат. Высказывания считаются нуль-местными предикатами.

Над предикатами можно производить обычные логические операции. В результате этих операций получаются новые предикаты.

Кроме операций логики высказываний, для построения новых предикатов используются операции связывания квантором.

Кванторы(лат.quantum– сколько) – описывают отношения внутренней структуры высказывания, т.е. отношения между субъектом и предикатом, и несут информацию о количественной характеристике логического выражения, перед которым они поставлены. Понятие квантора ввел в математическую логику немецкий логик и математик Готтлоб Фреге (1848–1925) в книге «Исчисление понятий» (1879).

Квантор всеобщности. ПустьP(x) – некоторый предикат, принимающий значение И или Л для каждого элемента множестваM. Тогда под выражениемxP(x) будем подразумевать высказывание истинное, когдаP(x) истинно для каждого элементаxиз множества M, и ложное – в противном случае. Читается это выражение так: «для всех x P(x)». Это высказывание уже не зависит отx. Символназывается квантором всеобщности (A– первая буква немецкого словаalle– все).

Квантор существования. ПустьP(x) – некоторый предикат. Под выражениемxP(x) будем понимать высказывание истинное, когда существует элемент множестваM, для которогоP(x) истинно, и ложное – в противном случае. Читается это выражение так: «существует xтакое, что P(x)». Это высказывание уже не зависит отx. Символназывается квантором существования (E– первая буква немецкого словаexistieren– существовать).

В таблице 8 приведены различные определения кванторных высказываний. Таблица состоит из 4 больших клеток, в каждой из которых приведено по 4 эквивалентных между собой высказывания, причем первым (увеличено) из них является наиболее простое (для понимания) высказывание. Из таблицы видно, что наличие слов «для всех» («существует») не означает, что высказывание общее (частное), также символыисами по себе тоже не дают такую информацию. Далее будет показано, что при построении доказательства очень важно знать, общим или частным является утверждение (предикат), которое собираемся доказать.

Если область значений предметных переменных есть конечное множество мощности n, то можно считать, что

.

Аналогично, если предикат определен на счетном множестве, то

.

Переход от P(x) кxP(x) илиxP(x) называетсясвязываниемпеременнойx, илинавешиванием кванторана переменнуюx(или на предикатP), иликвантификациейпеременнойx.

Переменная, на которую навешен квантор, называется связанной, несвязанная квантором переменная называетсясвободной. Навешивать кванторы можно и на многоместные предикаты и вообще на любые логические выражения. Выражение, на которое навешивается кванторxилиx, называетсяобластью действия квантора; все вхождения переменнойxв это выражение являются связанными.

Выражения xP(x) иxP(x) не зависят отxи при фиксированныхPиMпредставляют собой конкретные высказывания относительно всехxпредметной областиM.

Пример 35.ПустьP(x)=«x делится на два»,Q(x)=«x делится на три». Тогдаx(P(x)Q(x)) – истинное высказывание, так как есть число 6, которое делится и на 2 и на 3;x(P(x)Q(x)) – ложное высказывание, так как для числа 5 высказываниеP(x)Q(x) ложно.

Логика предикатов, как и логика высказываний, может быть построена в видеалгебры логики предикатов иисчисленияпредикатов.

Таблица 8