Свойства бинарных операций

1) –коммутативна, если для любыхa,b:.

2) –ассоциативна, если для любыхa,b,c:

.

Выполнение свойства ассоциативности означает, что скобки в выражении можно не расставлять;

3) –дистрибутивна слеваотносительно операции, если для любыхa,b,c:, и–дистрибутивна справаотносительно операции, если для любыхa,b,c:;

4) –идемпотентна, если для любыхa:.

Примеры

Арифметические операции сложения и умножения коммутативны и ассоциативны, операция умножения дистрибутивна относительно операции сложения слева и справа.

Операции объединения и пересечения множеств – коммутативны, ассоциативны, идемпотентны, операция пересечения дистрибутивна слева и справа относительно операции объединения.

Операция прямого произведения (см. пример 13) не обладает свойствами коммутативности, ассоциативности, идемпотентности.

Композиция бинарных отношений – ассоциативная, не коммутативная и не идемпотентная операция. 

Глава 4.Алгебраические структуры

Множество Aвместе с заданными на нем операциями {₁,₂, …,_m} называетсяалгеброй. Обозначение алгебры:, гдеAназываетсяосновным множеством (несущим множеством, носителем) , а={₁,₂, …,_m} –сигнатурой алгебры .

Множество Aс заданными на нем отношениями {R₁,R₂, …,R_n} называетсямоделью. Обозначение модели:, гдеA–несущее множество(универсум),={R₁,R₂, …,R_n} – сигнатура модели .

Множество Aвместе с заданными на нем операциями {₁,₂, …,_m} и отношениями {R₁,R₂, …,R_n} называетсяалгебраической системой, илиалгебраической структурой . Таким образом, алгебры – это алгебраические структуры с пустым множеством отношений, а модели – алгебраические структуры с пустым множеством операций.

Пусть между двумя множествами A иBустановлено соответствие. Это означает, что каждому элементуaизAпоставлен в соответствиеединственный элементизB, т.е.(a)=. Пусть также на множествеAзадана операция, на множествеBоперация, обе одинаковой арности, например, обе бинарные, так чтои. Мы получили две алгебры (A;) и (B;). Тогда отображениеназываетсягомоморфизмом(греч.homos– равный, одинаковый иmorphe– вид, форма, образ) алгебры (A;) в алгебру (B;), если выполняется условие:

. (*)

Условие гомоморфизма требует, чтобы отображение результата выполнения на множествеAоперациинад элементамиaиb, т.е., совпадало с результатомвыполнения на множествеBоперациинад отображениями этих элементов, т.е. нади.

Если при этом отображение является взаимно однозначным соответствием, оно называетсяизоморфизмом(греч.isos– равный, одинаковый, подобный) алгебры (A;) на алгебру (B;). В этом случае существует и обратное отображение:, также взаимно однозначное:.

Отображение – это, в свою очередь, изоморфизмBна A. Итак, если существует изоморфизмAна B, то существует изоморфизмBна A. При этом алгебры (A;) и (B;) называютсяизоморфными.

В общем случае, если на множествах Aна Bзаданы несколько операций соответственно (A;₁,₂, …,_m) и (B;₁,₂, …,_m), отображениеявляется гомоморфизмом алгебры (A;₁,₂, …,_m) в алгебру (B;₁,₂, …,_m), если условия, аналогичные (*), выполняются для каждой пары операций₁и₁, …,_mи_m.

В силу взаимной однозначности соответствия при изоморфизме мощности основных множеств изоморфных алгебр равны. Поэтому проверка алгебр на изоморфизм сводится к проверке условия гомоморфизма для каждой пары операций и установления взаимной однозначности соответствия(равной мощности множествAи B).

Понятие гомоморфизма (изоморфизма) для моделей и алгебраических структур вводится аналогично. Причем условия сохранения должны выполняться и для операций и для отношений.

Понятие изоморфизма – одно из важнейших понятий в современной математике. Так, из условия изоморфизма следует, например, что любое эквивалентное соотношение в алгебре сохраняется в любой изоморфной ей алгебре. Это позволяет, получив такие соотношения в алгебре, автоматически распространить их на все алгебры, изоморфные. В частности, изоморфизм сохраняет свойства ассоциативности, коммутативности, дистрибутивности и идемпотентности операций, а также свойства рефлексивности, иррефлексивности, симметричности, антисимметричности, транзитивности, эквивалентности и порядка отношений.