3. Математическая обработка результатов прямых многократных измерений

Гистограмма. Гистограмма – это ступенчатый график зависимости относительной частоты попадания результатов измеренийв выбранный интервал от величины результата измерений(рис. 2). Каждому интервалу соответствует столбик. Для построения гистограммы сначала представим результаты измерений в табл. 2. Здесь– номер интервала,– ширина интервала,– количество измерений, результаты которых приходятся на интервал номер.

Опишем процедуру заполнения табл. 2 подробнее. Сначала следует определить количество интервалов . Оно должно соответствовать количеству измерений в серии примерно так:. Приполучим. Но можно выбрать близкое число: 6 или 8. Выберем.

Следующий шаг – определение ширины интервалов . Величинуопределяют по формуле. Пусть, например,мкс,мкс, тогдамкс.

Определение границ интервалов производим так. Левая граница первого интервала – , правая –. В первую строчку () второго столбца таблицы записываем: 106 – 108. Во вторую строчку:–. И т. д. Последняя строчка () может быть заполнена так:–, т. е. в нашем примере 116 – 118.

Используя второй столбец таблицы, определяем количество измерений, попавших в каждый интервал , и заполняем остальные столбцы.

Результат измерения, попавший точно на границу между интервалами, следует относить всегда к левому либо всегда к правому интервалу. Результаты подсчётов представим в виде табл. 2.

Таблица 2				Таблица 2а
	Интервалы					Интервалы
	мкс					мкс
					1	106 – 108	4	0,08
					2	108 – 110	10	0,2
					3	110 –	14	0,28
					4	–	12	0,24
					5	–116	8	0,16

В нашем конкретном примере таблица имеет вид (табл. 2а) (допустимо интервалы записывать в виде: нижняя граница – (тире) – верхняя граница):

Пусть, например, в 1-й интервал, между ипопало 4 измерения, во 2-й 10 измерений и т.д. Необходимо проверить, равна ли сумма всехполному числу измерений.

Подсчитаем относительную частоту попадания в-й интервалдля каждого интервала и запишем её в последний столбец таблицы. Очевидно, сумма всех относительных частот равна единице.

По табл. 2а строим гистограммув осяхи(рис. 2). Для этого над каждым интервалом строим прямоугольник высотой(ширина прямоугольника равна).

Теоретическая плотность вероятности. Если все ординатына рис. 2 разделить на,изменится только вертикальный масштаб гистограммы, который выбирается произвольно из соображений удобства. (Мы могли сразу откладывать на оси ординат величинуи при соответствующем выборе масштаба получить вид гистограммы, в точности совпадающий с приведённым на рис. 2.) Эта преобразованная гистограмма прии(обозначим) перейдет в плавную кривую(рис. 3):

.

Поскольку переходит в, относительная частота попаданийпереходит в. Поэтому вероятность попадания результата в интервалравна, а вероятностьпопадания результата в конечный интервалнаходится интегрированием:

.

Вероятность можно рассматривать как функцию верхнего предела. Очевидно, что эта функция является дифференцируемой и

.

Поэтому функция называетсяплотностью распределения вероятностейили простоплотностью вероятностей.

Геометрической интерпретацией вероятности попадания результата в конечный интервалявляется площадь под кривойна соответствующем интервале. Полная площадь под кривойравна единице как вероятность достоверного события.

В реальных физических экспериментах всегда существует много независимых причин возникновения погрешностей, каждая из которых слабо влияет на общий результат. В этом случае, независимо от природы и характера этого влияния, результаты многократных измерений имеют вид так называемого нормального распределения(илираспределения Гаусса):

. (2)

Зависимость для нормального распределения (2) представлена на рис. 3.

Свойства нормального распределения (рис. 3):

1. существует наиболее вероятноезначение:;

2. отклоненияотв обе стороны встречаются одинаково часто: гауссово распределение симметрично относительно, поэтому среднее значение(обозначим его), называемое такжематематическим ожиданиемвеличины, равно:;

3. чем больше отклонение от, тем реже оно встречается;

4. мерой случайной погрешности, т. е. мерой отклонения от, являетсястандартноеилисреднеквадратичноеотклонение (СКО). Обозначим его буквой. Оно примерно равно полуширине на полувысоте (ПШПВ) гауссова распределения: ПШПВ;

5. при всё распределение «стягивается» к одному значению, которое в отсутствие систематической погрешности и принимается за истинное значение;

6. в интервал от до, т. е.вокругпопадает 68 % всех результатов измерений, в интервал– 95 %,а в интервалезаключено 99,73 % всех результатов. На долю отклонений от, превышающих,приходится всегообщего числа измерений. Все эти оценки можно кратко записать в виде одной формулы: с вероятностьюинтервал междуи результатом любого измерения(т. е. фактически погрешность измерения) не превышает:

. (3)

При , т. е., соответственно,.

Из формулы (3) получаются варианты так называемого доверительного интерваладля истинного значения, т. е. интервала, в которомнаходится с заданнойдоверительной вероятностью . Запись

(4)

означает, что истинное значение находится в интервале отдо(который называетсядоверительным интервалом) с вероятностью(которая называетсядоверительной вероятностью).

Прямые измерения.При прямых измерениях физическая величина считывается непосредственно со шкалы прибора. С помощью микросекундомера в данной работе осуществляется прямое измерение интервала времени. Перед каждым измерением показание МС необходимо обнулить.

Если истинное значение и СКО измеряемой величины неизвестны, то их можно определить многократными, т. е. повторяющимися в одной и той же неизменной экспериментальной обстановке, измерениями. Именно это мы проделаем во вводном лабораторном занятии. При многократных измерениях расчётной оценкой математического ожидания(т. е. истинного значения) являетсявыборочное среднее(т. е. среднее арифметическое результатов серии изизмерений, которую называютвыборкой):

. (5)

Расчётной оценкой СКО () являетсявыборочное СКО():

. (6)

Многие из инженерных калькуляторов имеют режим статистических вычислений (STAT), существенно упрощающий вычисления по формулам (5), (6).

При , а. Поэтому, казалось бы, можно по аналогии с (4) записать результат измерений в виде:

, .

Однако при любом конечном числе измерений выборочное СКО может оказаться как больше, так и меньше неизвестного . Второй случай – самый опасный: при подстановкевместо преуменьшается ширина доверительного интервала. Заданную доверительную вероятность обеспечивают, расширяя интервал путём замены коэффициентовна коэффициенты Стьюдента(табл. 3). При этом. Из таблицы видно, что, например только при, т. е. только при таком числе измеренийнезначительно отличается от.

Кроме того, для сужения интервала, т. е. для уточнения оценки , используют то, что выборочное среднеев (7) зависит от суммы случайных нормально распределённых результатов измеренийи потому само является случайной нормально распределённой величиной со среднеквадратичным отклонением среднего. В математической статистике доказывается, что если результаты измерений не зависят друг от друга, то

.

Таблица 3
N	Р
	0,683	0,900	0,950	0,990	0,997
	t(P, N)
2	1,84	6,3	12,7	63,6	212,3
3	1,32	2,9	4,3	9,9	182
4	1,20	2,4	3,2	5,8	9,0
5	1,14	2,1	2,8	4,6	6,4
6	1,11	2,0	2,6	4,0	5,4
7	1,09	1,9	2,4	3,7	4,8
8	1,08	1,9	2,4	3,5	4,4
9	1,07	1,9	2,3	3,4	4,2
10	1,06	1,8	2,3	3,2	4,0
15	1,04	1,8	2,1	3,0	3,6
20	1,03	1,7	2,1	2,9	3,4
30	1,02	1,7	2,0	2,8	3,2
50	1,01	1,7	2,0	2,7	3,1

Точное значение неизвестно, однако при большом числе измерений, откуда

.

Видно, что погрешность приближения при большихуменьшается как. Это означает, что хотя от измерения к измерению единичные результаты «прыгают» в среднем на, разброс выборочных средних от выборки к выборке послучайных измерений уменьшается с ростом, что и позволяет сузить доверительный интервал при многократных измерениях. Уменьшение случайного разброса путём усреднения многократных измерений широко используется в цифровых приборах.

Используя коэффициенты Стьюдента и переходя к выборочному СКО среднего значения, окончательно запишем результат в случае многократных измерений

, . (7)

Значения , отличные от 1, 2, 3, и соответствующие значениямогут быть выбраны по таблицам в [1,2,6].Рекомендуется результат записывать для , т. е. выбирать доверительный интервал , так как припри достаточно большом числе измерений. Именно такое значениевыбираютпо умолчанию: если доверительная вероятность в записи (7) не указана, то, а доверительный интервал соответственно есть промежуток от до .