Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Документ Microsoft Word Экзамен 1 сем..doc
Скачиваний:
12
Добавлен:
27.03.2015
Размер:
97.79 Кб
Скачать

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ.

I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ.

1. Понятие множества. Операции над множествами. Числовые множества. Числовые промежутки. Окрестность точки.

2. Определение функции. Способы задания функций. График функции. Примеры кривых, заданных явно, неявно и параметрически.

3. Полярная система координат. Примеры кривых, заданных в полярной системе координат.

4. Простейшие элементарные функции, их свойства и графики.

5.Определение элементарной функции. Классификация элементарных функций.

6. Числовая последовательность. Определение предела числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.

7. Определение предела функции . Теоремы об ограниченности функций, имеющих конечный предел. Односторонние пределы.

8. Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Свойства бесконечно малых функций.

9. Терема о связи между функцией. её пределом и бесконечно малой функцией.

10. Теоремы об алгебраических операциях с пределами и о переходе в неравенствах к пределу.

11. Первый и второй замечательные пределы. Различные формы записи

второго замечательного предела.

12. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Порядок б.м. и б.б. относительно х.

13. Эквивалентные б.м. Теоремы о свойствах эквивалентных б.м. .

14. Непрерывность функции в точке. Различные определения непрерывности. Односторонняя непрерывность.

15. Основные теоремы о непрерывных функциях: непрерывность простейших элементарных функций; алгебраические операции с непрерывными функциями; непрерывность сложной и обратной функций; непрерывность элементарной функции.

16. Классификация точек разрыва функции.

17.Свойства функций, непрерывных на отрезке. Формулировка теорем Вейерштрасса и Больцано – Коши.

II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ,

1.Определение производной, её механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой на плоскости.

2. Основные правила дифференцирования функций, заданных явно, неявно и параметрически.

3.Приращение и дифференциал функции. Дифференцируемость функции. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.

4.Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал суммы, произведения и частного двух функций.

5. Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Роля, её геометрическая интерпретация; Теорема Лагранжа и следствия из теоремы ;

теорема Коши.

6. Производные и дифференциалы старших порядков от функций , заданных явно и параметрически.

7. Правило Бернулли – Лопиталя. Раскрытие неопределённостей.

8. Формула Тейлора. Многочлен Тейлора и остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.

9. Формула Маклорена. Вывод формулы Маклорена для некоторых элементарных функций.

10. Возрастание и убывание функции. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания.

11.Экстремумы функции. Необходимые и достаточные условия экстремума.

12. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба графика функции. Необходимые и достаточные условия выпуклости, вогнутости и существования точки перегиба.

13. Асимптоты кривых. Условие существования вертикальных , горизонтальных и наклонных асимптот.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

1. Первообразная и неопределённый интеграл. Простейшие свойства неопределённого интеграла.

2. Основные методы интегрирования функций: непосредственное интегрирование, интегрирование заменой переменного и подстановкой, интегрирование по частям.

3. Простейшие рациональные дроби. Интегрирование простейших рациональных дробей.

4. Разложение многочлена на множители. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие методом неопределённых коэффициентов. Алгоритм интегрирования рациональных дробей.

5.Интегрирование тригонометрических функций.

6. Интегрирование некоторых иррациональных выражений.

7.Определённый интеграл. Геометрическая интерпретация. Условие интегрируемости функции. Свойства определённого интеграла. Теорема о среднем.

8.Интеграл с переменным верхним пределом. Производная интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона – Лейбница.

9. Вычисление определённого интеграла методом замены переменного и по частям.

10.Несобственные интегралы первого рода. Определение. Свойства. Признаки сходимости.

11. Применение определённого интеграла для решения задач геометрии и физики.

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1

По дисциплине МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Факультет бизнеса ( экономика ) Курс 1 Семестр 1

----------------------------------------------------------------------------------------------------

I. 1. Вычислить пределы

2. Дать определение непрерывной функции. Найти значение параметра ,

при котором функция непрерывна в точке х=0:

II. 1. Вычислить производные функций

2. Сформулировать условия возрастания и убывания функции. Найти промежутки возрастания и убывания функции

3. Найти асимптоты и построить схему графика функции

III. 1. Найти неопределённые интегралы

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

8 января 2013 г. Составила Э.Г. Соснина

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 2

По дисциплине МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Факультет бизнеса ( экономика ) Курс 1 Семестр 1

I. 1. Дать определение бесконечно малой функции. Установить, которая из

заданных функций является б.м.

2. Найти точку разрыва функции и установить вид разрыва

II. 1. Вычислить производные функций :

2. Дать определение монотонной функции. Сформулировать условие монотонности. Проверить, является ли заданная функция монотонной или имеет экстремум

3. Найти дифференциал функции в точке х=4.

III. 1. Найти неопределённые интегралы

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

8 Января 2013 г. Составила э.Г. Соснина

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 3

По дисциплине МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Факультет бизнеса ( экономика ) Курс 1 Семестр 1

I. 1. Дать определение эквивалентных бесконечно малых функций. Проверить, являются ли эквивалентными при х 0 б.м.

2. Вычислить пределы

II. 1. Найти производные функций

2. Сформулировать необходимые и достаточные условия экстремума функции. Исследовать на экстремум функцию

3. Найти асимптоты и построить схему графика функции

Ш. 1. Найти неопределённые интегралы

2. Вычислить определённый интеграл

8 января 2013 г Составила Э.Г. Соснина

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 4

По дисциплине МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Факультет бизнеса ( экономика ) Курс 1 Семестр 1

I. 1. Дать определение бесконечно малых одного порядка. Проверить, являются ли функции и

б.м. одного порядка.

2. Вычислить пределы

II. 1.Найти производные функций

2. Сформулировать необходимые и достаточные условия перегиба графика функции. Исследовать на перегиб функцию

3. Найти асимптоты и нарисовать схему графика функции

III. 1. Найти неопределённые интегралы

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

8 января 2013г. Составила Соснина Э.Г.

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 5

По дисциплине МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Факультет бизнеса ( экономика ) Курс 1 Семестр 1

I. 1. Дать классификацию разрывов функции. Определить вид разрыва заданной функции. Сделать схематичный чертёж

2. Вычислить пределы

II. 1. Найти производные функций

2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке

3. Дать определение дифференциала функции. Вычислить дифференциал функции в заданной точке

III. 1. Найти неопределённые интегралы

2. Вычислить определённый интеграл

( подстановка )

8 января 2013 г. Составила Соснина Э.Г.

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 6

По дисциплине МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Факультет бизнеса ( экономика ) Курс 1 Семестр 1

I. 1. Дать определение порядка бесконечно малой величины относительно x

при х 0. Определить порядок б.м. относительно х при х 0.

2. Вычислить пределы

II. 1. Найти производные функций

2.Сформулировать необходимые и достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции. Исследовать на выпуклость и вогнутость функцию

3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой, заданнсй параметрически в точке

III. 1. Найти неопределённые интегралы

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

8 января 2013 г. Составила Соснина Э.Г

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 7

По дисциплине МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Факультет бизнеса ( экономика ) Курс 1 Семестр 1

I. 1.Дать определение бесконечно большой величины. Определить, которая

из заданных функций является б.б

2.Определить, какого рода разрывы в точке х=0 имеют функции

II. 1. Найти производные функций

2.Сформулировать правило Бернулли – Лопиталя. Используя это правило, вычислить предел

3. Найти асимптоты и построить схему графика функции

III. 1. Найти неопределённые интегралы

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

8 января 2013 г. Составила Соснина Э.Г.

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 8

По дисциплине МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Факультет бизнеса ( экономика ) Курс 1 Семестр 1

I. 1. Дать определение эквивалентных бесконечно малых величин. Проверить, являются ли эквивалентными б.м. функции

и .

2. Исследовать функцию на непрерывность, определить вид разрыва, сделать схематичный чертёж