Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MMATAN04

.pdf

Скачиваний:

112

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

1.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 196 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

IV. Исследуем функцию с помощью второй производной:

y =

x4 − 3x2

= (4x3

− 6x)(x2

− 1)2 − 4x(x2 − 1)(x4 − 3x2) =

(x2 − 1)2

(x2 − 1)4

= (4x3 − 6x)(x2 − 1) − 4x(x4 − 3x2)

(x2 − 1)3

4x5 − 6x3 − 4x3 + 6x − 4x5 + 12x3

2x3 + 6x

2x(x2 + 3)

(x − 1)3(x + 1)3

(x2 − 1)3

Знаки второй производной y указаны на рис. 2.10.

-1

Рис. 2.10. Знаки производной y

График функции выпуклый вниз (y > 0) на интервалах (−1, 0), (1, +∞) и выпуклый вверх (y < 0) на интервалах (−∞, −1), (0, 1),

при x = 0 функция имеет точку перегиба.

На рис. 2.11 изображен график исследуемой функции.

y=x

-1

Рис. 2.11. График функции y = x3 x2 − 1

Глава 3

Практика по темам «Дифференцирование и исследование функции»

Занятие 1. Дифференцирование суммы, произведения и частного

При вычислении производных суммы, произведения и частного функций пользуются следующими правилами дифференцирования:

(u ± v) = u ± v , (cu) = cu

(uv) = u v + uv ,

(uvw) = u vw + uv w + uvw ,

u = u v − v u . v v2

где u(x), v(x) — дифференцируемые функции, c — постоянная, и таблицей производных основных функций.

Таблица производных

(c)

= 0

, где

– постоянная.

13.

( tg x) =

(x)

cos2 x

= 1.

(xn) = nxn−1

14.

( ctg x) =

−

sin2 x

(√

) =

15.

( sh x) = ch x

2√x

16.

( ch x) = sh x

−

17.

(th x) =

ch 2x

−

xn+1

18.

( cth x) =

− sh

(loga x)

x ln a

19.

(arcsin x)

√1 − x2

(ln x )

20.

(arccos x)

= −

√

)

= a

ln a

− x

10. ( ex) = ex

21.

( arctg x)

11. (sin x)

= cos x

1 + x2

12. (cos x)

= − sin x

22.

( arcctg x) = −

1 + x2

П р и м е р 1. Найти производную функции

y = 3 tg x + 5 cos x + arcsin x + 5x.

Р е ш е н и е:

y = 3( tg x) + 5(cos x) + (arcsin x) + (5x)

− 5 sin x + √

+ 5x ln 5.

cos2 x

− x

При нахождении производных некоторых функций рекомендуется их преобразовать (привести к виду, удобному для дифференцирования).

П р и м е р 2. Найти производную функции

y =	2	+	3	− 2	√
					x.
	3x		5 tg x

Р е ш е н и е. Приведем функцию к виду, удобному для диффе-

ренцирования:
y =	2 1		+	3	ctg x − 2	√
	2 1			3		√	x.
	3	x		5			x.

Используя правила дифференцирования и таблицу производных,

вычисляем производную:

y =

( ctg x) − 2(√x)

−

− 2

2√

= −

−

√

sin2 x

3x2

5 sin2 x

П р и м е р 3. Найти производную функции

x√

√

y =

√

√3

−

Р е ш е н и е. Приведем функцию к виду, удобному для дифференцирования:

					2 −	1			1 +		1		−	1					1	− 1						3			7			−		1
					2 −	2			1 +		2		−	3		− x			2	− 1		= x				2	+ x		6	− x		−		2	.
	y = x						+ x									− x						= x					+ x			− x					.
Ищем производную:
	3			3	− 1		7		7					1		−	1		− 1			3				1		7		1		1			−	3
y =	3			2	− 1	+	7		6 − 1			+		1		−	2		− 1		=	3				2	+	7		6	+	1			−	2	=
y =		2	x			+	6	x				+		2	x						=		2	x			+	6	x		+		2	x			=
									=	3	√			+		7 √6				+		1
										3	√					7 √6						1
													x					x			2x√					.
										2						6
										2						6									x

П р и м е р 4. Найти производную функции

y= x2 sin x + x3 cos x.

Ре ш е н и е. При решении вначале используем правило дифференцирования суммы, а затем правило дифференцирования произведения.

y = (x2 sin x + x3 cos x) = (x2 sin x) + (x3 cos x) =

=(x2) sin x + x2(sin x) + (x3) cos x + x3(cos x) =

=2x sin x + x2 cos x + 3x2 cos x − x3 sin x =

=(2x − x3) sin x + 4x2 cos x.

Пр и м е р 5. Найти производную функции

y = (x2 + 1) sin x arctg x.

Р е ш е н и е.

y = (x2 + 1) sin x arctg x+

+(x2 + 1)(sin x) arctg x + (x2 + 1) sin x( arctg x) =

=2x sin x arctg x + (x2 + 1) cos x arctg x + sin x.

Пр и м е р 6. Найти производную функции

x sin x

y = sin x + x cos x .

Р е ш е н и е. В этом примере одновременно применяются правила дифференцирования дроби и произведения функций:

		y =	x sin x
				=
			sin x + x cos x	=
=	(x sin x) (sin x + x cos x) − (sin x + x cos x) x sin x =
		(sin x + x cos x)2
	=	(sin x + x cos x)2 − (2 cos x − x sin x)x sin x =
		(sin x + x cos x)2

= sin2 x + 2x sin x cos x + x2 cos2 x − 2x sin x cos x + x2 sin2 x = (sin x + x cos x)2

x2 + sin2 x

= (sin x + x cos x)2 .

Задание для практических занятий

Найти производные от следующих функций:

1.1. y = x5 − 4x3 + 2x − 3.

√ √

1.3. y = x + 2 x + 3 3 x.

	1			1			1
1.5.	y =		+	2√		+	3√3		.
		x
					x			x

1.7. y = 5 sin x + 3 cos x.

√

1.9. y = 3 x + 4 cos x − ln x.

1.2. y =

−

+ 5x + ln 3.

1.4. y =

√

√3

+ 1

1.6.

y =

x − 2 x

√4 x

1.8.y = tg x − ctg x.

1.10.y = log2 x + 3 log3 x.

	2		√5		1			sin x	+ 2 cos x + ln x.
				3
1.11.	y = 3 + 4x	+	x		+		+
						x2		2

√

1.12. y = 8 x3 − 4x6 + 5 lg x − 7 cos x + 3 ctg x + 2 tg x.

1.13.y = arctg x + arcctg x + 2 cos x.

1.14.y = arcsin x + arccos x + 3 sin x.

1.15. y =

5x + 6x + ex.

1.16. y =

1.17. y =

3x + log3 x.

1.18. y =

3 ln x+2 log2 x+ln 3·log3 x.

1.19. y =

3x +

1.20. y =

+ 2 ln x + 3 ctg x.

2 · 5x

1.21.

y =

, a

= 0.

2xa

tg x

1.22. y =

+ ln a loga x, a > 1.

1.23. y = x ctg x.

1.24. y = x arcsin x.

1.25. y = x7 ex.

1.26. y = (x2 − 3x − 1)2x.

1.28. y =

cos x.

1.27. y =

2x−2

1.29.

y = x3 ln x

1.30.

y =

(1 + x2) arctg x − x

− 3 .

1.31.

y = x log2 x −

1.32. y =

2x sin x − x2 cos x.

ln 2

1.33. y = (x4 + 1) ex cos x.

1.34. y = (x2 + 1) cos x arcctg x.

1.35.

y =

2x + 1

1.36. y =

5x2

cos x

ln x

3x5

1.38. y =

tg x

1.37.

y =

10x

1 + ex

1.39. y =

1.41. y =

1 + x − x2

1 − x + x2 .

x sin x

1 + sin x .

1.40. y =

1.42. y =

sin x + cos x sin x − cos x .

x ex

1 + ex .

Задачи для самостоятельной работы

1.43. y = x4 + 5x2 − 2x + 3.


1.45.	y = 5x5 +		3x4				x3
					−				.
			4				3
1.47.	y = x + √			+ √3				.
		x				x

√√ 5

1.49.y = 4 x3 + 3x 3 x2 + x2 .

1.44. y = 7x7 + 3x3 − 4x + 1.

√

1.46. y = x x.

		√	2	1	3
	y =	3		1	3
1.48.	y =		x +	2x	−	x3	+ 8.
1.50.	y = 4x5 − 3 sin x + 5 tg x.

1.51. y =

+ 3 cos x + ctg x.

1.52. y =

√3

+ 2 cos x +

ctg

1.53. y = tg x + ctg x.

1.54. y = 2 tg x − ctg x.

1.55.

y =

√ 5

+ ln x + 2

1.56. y = 2 log2 x + ln 5 · log5 x.

tg x

1.57.

y =

ex −

1.58. y =

+ arctg x + arccos x.

e−x

1.59.

y = 5x + 3x +

1.60. y = ln 4 · log2 x + ln 27 · log3 x.

1.61.

y =

+ 2 arcctg x + 3 arcsin x.

ln 2

1.62. y = arcsin x + arccos x + arctg x + arcctg x.

1.63. y = x2 sin x.

1.64. y = x2 log6 x.

1.65. y = 2x ln x3.

1.66. y = (x2 + 1) arcctg x.

1.67.y = x3(arccos x + arcsin x).

1.68.y = ex( arctg x + arcctg x).

1.69. y = x( tg x − ctg x).

1.71. y = x3 ex arcctg x.

1.73. y = x3 + 1 . x3 − 1

3 cos x 1.75. y = 1 + sin x .

1.77. y = (x2 + 1) arctg x . x3

1.79. y = 2 + ex .

2 − ex

1.81. y = 1 + 2x .

1.70. y = x2 sin x tg x.

1.72. y = x cos x arcsin x.

ln x

1.74. y = 2 cos x .

√

1.76. y = √ x . x + 1

x ln x

1.78. y = 2(1 + x2) .

3 tg x

1.80. y = 2x .

x2 ctg x

1.82. y = x2 + 1 .

Ответы

											x3						2x												1									1									3
1.1. 5x4 − 12x3 + 2. 1.2.														−					+ 5.			1.3. 1 +									√				+		√3					. 1.4.					−			−
											2						3																																x4
											2						3																x						x2										x4
2			1		. 1.5.		1				1								1						. 1.6.				1												5							1			.
					. 1.5.																				. 1.6.																										.
− x3 − x2						−x2 − 4x√x											−		9x√3			x									√4			3		−					√			7 −				4x√4		x
																													4					x				6			12		x
											4											3							4					x				6					x				1
1.7. 5 cos x −3 sin x. 1.8.											4							.	1.9.			3						−4 sin x −										1		. 1.10.							1			+
																							2√
											sin2				2x																							x								x ln 2
											sin2				2x											x												x								x ln 2
3							3				2							cos x											1														3
+			. 1.11. 8x+					√5			−				+						−2 sin x+													. 1.12.								√8			−24x5 +
	x ln 3												x3						2													x
	x ln 3									2			x3						2													x												5
5								5 x										2																							8			x
5							3											2
+				+ 7 sin x −								+								.		1.13.							−2 sin x.												1.14.						3 cos x.
+		x ln 10		+ 7 sin x −					sin2 x			+				cos2 x				.		1.13.							−2 sin x.												1.14.						3 cos x.
1.15. 5x ln 5 + 6x ln 6 + ex. 1.16. −																								ln 3					ln 7					.
																											+											1.17.							3x ln 3 +
																								3x			+			7x								1.17.							3x ln 3 +
60

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 196 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.09.2019211.97 Кб4Mirovozzrenie_i_ego_tipy.doc
#
01.05.2025386.05 Кб0mir_ek.doc
#
01.05.2025845.48 Кб0MKLI_Zadachi.rtf
#
27.03.20151.12 Mб42MMATAN01.pdf
#
27.03.2015651.36 Кб29MMATAN02.pdf
#
27.03.20151.02 Mб112MMATAN04.pdf
#
27.03.20151.1 Mб28MMATHAN05.pdf
#
01.09.2019285.18 Кб6Module 3_Company.doc
#
24.08.201941.3 Кб4moi_laby.docx
#
22.09.2019482.82 Кб3moi_otvety_na_fto_sukhodoev.doc
#
11.07.2019141.39 Кб14moi_voprosy_po_yazykoznaniyu.docx