MMATAN04

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим вспомогательную функцию

h(x) = [f (b) − f (a)]g(x) − [g(b) − g(a)]f (x).

Функция h(x) непрерывна на сегменте [a, b], дифференцируема на интервале (a, b) и h(a) = f (b)g(a) − g(b)f (a) = h(b). Следовательно, для h(x) выполняются все условия теоремы Ролля, и существует точка ξ (a, b), в которой h (ξ) = 0, или

[f (b) − f (a)]g (ξ) − [g(b) − g(a)]f (ξ) = 0.

Теорема 1.9

(Формула Лагранжа). Пусть для функции f : [a, b] → R выполняются условия

1)f (x) C[a, b];

2)f (x) — дифференцируема на (a, b).

Тогда существует точка ξ (a, b), такая, что

f (b) − f (a) = f (ξ)(b − a).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим g(x) ≡ x в теореме Коши.

Геометрически эта теорема означает, что существует касательная к кривой y = f (x), параллельная хорде, соединяющей точки (a, f (a)) и (b, f (b)) (рис. 1.9), так как тангенс угла наклона касательной, рав-

ный f (ξ), совпадает с тангенсом наклона хорды f (b) − f (a) . b − a

Как следствие из формулы Лагранжа, получается формула конечных приращений.

Пусть x0 и x — две различные точки из интервала (a, b). Тогда f (x) − f (x0) = f (ξ)(x − x0), где ξ находится между x и x0, а значит

может быть представлена в виде ξ = x0 + θ(x − x0), 0 < θ < 1. Используя понятия приращения функции и приращения аргумента, формулу Лагранжа можно переписать в виде

f (x0) = f (x0 + θ x)Δx, (0 < θ < 1).

Эта формула и носит название формулы конечных приращений (Лагранжа).

21

Рис. 1.9. Геометрический смысл формулы Лагранжа

Теорема 1.10

(Формула Коши). Пусть функции f : [a, b] → R и g : [a, b] → R

удовлетворяют условиям

1)f (x) C[a, b] и g(x) C[a, b];

2)f (x) и g(x) — дифференцируемы на (a, b);

3)для всех x (a, b) выполняется g (x) = 0. Тогда существует точка ξ (a, b), такая, что

Д о к а з а т е л ь с т в о. Функции f (x) и g(x) удовлетворяют условиям теоремы Коши. Следовательно, существует точка ξ (a, b), такая, что

[f (b) − f (a)]g (ξ) = [g(b) − g(a)]f (ξ),

где g (ξ) = 0. Величина g(b) − g(a) = 0, так как в противном случае функция g(x) удовлетворяла бы теореме Ролля и существовала точка x (a, b), в которой g (x) = 0, что противоречит условию 3). Но тогда последнее равенство равносильно равенству

22

1.7. Производные и дифференциалы высших порядков

Определение 1.7. Пусть f : (a, b) → R.

Производная n-го порядка функции f (x) в точке x (a, b) при любом n ≥ 1 определяется по индукции

f(n)(x) = f (n−1)(x) ,

где f (0)(x) ≡ f (x).

Дифференциал n-го порядка от функции f (x) в точке x (a, b) при любом n ≥ 1 определяется по формуле

dnf (x) = d dn−1f (x) ,

где d0f (x) ≡ f (x).

Если x — независимая переменная, то полагают:

d2x = d3x = . . . = 0.

Определение 1.8. Функция f : (a, b) → R называется n-раз дифференцируемой в точке x (a, b), если в этой точке существует конечная производная n-го порядка f (n).

Функция f (x) называется n-раз дифференцируемой на интервале (a, b), если она n-раз дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Определение 1.9. Пусть f : (a, b) → R.

Если существует производная f (x) на (a, b) и f (x) непрерывна на (a, b), то функция f (x) называется гладкой.

Если f (n)(x) существует на (a, b) и f (n)(x) непрерывна на (a, b), то говорят, что функция f (x) имеет гладкость n-го порядка.

Определение 1.10. Через Cn(a, b) обозначают класс функций непрерывных на интервале (a, b) вместе со своими производными до n-го порядка включительно (гладкости порядка n).

23

Будем говорить, что f (x) Cn[a, b], если f (x) Cn(a, b) и

Через C∞(a, b) или C∞[a, b] обозначают классы бесконечно дифференцируемых функций.

Теорема 1.11

(Правила повторного дифференцирования). Пусть функции f : (a, b) → R и g : (a, b) → R — n-раз дифференцируемы на (a, b). Тогда имеют место следующие формулы повторного дифференцирования:

1)(f + g)(x)(n) = f (n)(x) + g(n)(x), dn(f + g)(x) = dnf (x) + dng(x),

2)(cf )(n)(x) = cf (n)(x),

dn(cf )(x) = cdnf (x), где c — постоянная,

n

3) (f g)(n)(x) = Cnk f (k)(x)g(n−k)(x),

k=0

n

dn(f g)(x) = Cnk dk f (x)dn−k g(x),

k=0

n(n − 1) · · · (n − k + 1)

где Cnk = , Cn0 = 1.

k!

Формулы 3) повторного дифференцирования произведения f g носят названия формул Лейбница.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Равенства 1) и 2) получаются последовательным дифференцированием известных равенств

(f + g) (x) = f (x) + g (x), d(f + g)(x) = df (x) + dg(x),

(cf ) (x) = cf (x), d(cf )(x) = cdf (x), c — постоянная.

Равенство 3) докажем по индукции. Предположим, что формула Лейбница справедлива при n, и докажем, что при этом предположе-

24

нии она будет справедлива при n + 1. Имеем

Мы видим, что из справедливости формулы Лейбница для n вытекает ее справедливость для n + 1, а так как она справедлива в частном случае для n = 1, то она справедлива для любого натурального n.

Формула Лейбница для дифференциала доказывается аналогич-

но.

Теорема 1.12

(Формула n-го дифференциала). Пусть f : (a, b) → R.

1) Если f (x) n-раз дифференцируемая функция на интервале (a, b) и x — независимое переменное, то n-й дифференциал функ-

25

ции f (x) вычисляется по формуле

dnf (x) = f (n)(x)dxn ,

где dxn = (dx)n.

2) Если функция x = x(t) : (α, β) → (a, b) n-раз дифференцируема в точке t (α, β), а f (x) n-раз дифференцируема в точке x = x(t) (a, b), то n-й дифференциал от функции f (x(t)) в указанной точке существует, но формула n-го дифференциала при n ≥ 2 не сохраняется.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Доказывается по индукции. Поскольку d2x = 0, то применяя правило дифференцирования в

дифференциалах, получим

d2f (x) = d(df (x)) = d(f (x)dx) = d(f (x)) · dx + f (x)d2 x = f (x)dx2 .

Если для натурального n выполняется dnf (x) = f (n)(x)dxn ,

то для n + 1 получим

dn+1f (x) = d(f (n)(x)dxn) = d(f (n)(x) · dxn + f (n)(x)d(dxn ) = = f (n+1)(x)dxn+1 + f (n)(x)ndxn−1 d2x = f (n+1)(x)dxn+1 ,

что и доказывает первое утверждение.

2) Существование n-го дифференциала устанавливается последовательным дифференцированием с применением правил дифференцирования в дифференциалах. Не сохранение формулы уже выявляется для второго дифференциала:

d2f (x) = d(f (x)dx) = f (x)dx2 + f (x)d2 x.

В последней формуле d2x, вообще говоря, не обращается в 0.

26

Д о к а з а т е л ь с т в о. Не ограничивая общности можно

предположить, что

lim g(x) = +∞.

x→a

Пусть −∞ < a < +∞.

Предположим сначала, что −∞ ≤ A < +∞. Выберем число q, такое, что A < q, а затем выберем r, чтобы выполнялось неравенство A < r < q. Согласно условия 4) существует число δ1 > 0, такое, что

Если a < x < y < a + δ1, то существует точка ξ (x, y), такая, что из формулы Коши следует

Считая y в этом неравенстве фиксированным, мы в силу условия

lim g(x) = +∞ можем найти число δ2, 0 < δ2 < δ1, такое, что при

x→a

a < x < a + δ2 выполняется

g(x) > g(y), g(x) > 0.

Умножая обе части неравенства

f (x) − f (y) g(x) − g(y) < r

на g(x) − g(y) > 0, получим

f (x) − f (y) < r(g(x) − g(y)), f (x) < r g(x) − r g(y) + f (y).

Разделим последнее неравенство на g(x) > 0. Тогда при фиксированном y и любых x, таких, что a < x < a + δ2 выполняется

29

Аналогично, когда −∞ < A ≤ +∞, а p выбрано так, что p < A, мы найдем число δ4 > 0, такое, что

f (x)

p < g(x) , a < x < a + δ4.

f(x)

1)Если A = −∞, то из соотношений g(x) < q при a < x < a + δ3

следует

lim f (x) = −∞.

x→a+0 g(x)

f(x)

2)Если A = +∞, то из соотношений g(x) > p при a < x < a + δ4

следует

lim f (x) = +∞.

x→a+0 g(x)