MMATAN04

12.7.Среди правильных шестиугольных пирамид, вписанных в шар радиуса R, есть пирамида с наибольшим объемом. Найти объем этой пирамиды.

Ответы

Занятие 13. Исследование рациональных функций

Схема исследования функции

I.Общие вопросы

1.О.О.Ф. – область определения функции.

2.Вид функции – четная, нечетная, периодическая, общего вида.

3.Точки пересечения с осями.

4.Интервалы знакопостоянства. II. Исследование с помощью пределов

1.Поведение на границе области определения.

2.Асимптоты.

III. Исследование с помощью первой производной

1.Интервалы возрастания и убывания функции.

2.Максимумы и минимумы функции.

IV. Исследование с помощью второй производной

1.Промежутки выпуклости графика функции (вверх и вниз).

2.Точки перегиба.

131

Асимптоты: x = −1 — вертикальная асимптота. Найдем наклонные асимптоты y = kx + b :

Рис. 3.8. Знаки производной y

133

Функция возрастает на интервалах (−∞, −4) и (0, +∞), убывает на

256

интервалах (−4, −1) и (−1, 0), ymax = y(−4) = − 27 , ymin = y(0) = 0.

IV. Исследование с помощью второй производной

График функции выпуклый вниз (y > 0) на интервале (−1, +∞) и выпуклый вверх (y < 0) на интервале (−∞, −1). Точек перегиба нет.

134

2. Исследование функции

x

y = (1 − x2)2 .

I. Ищем область определения X функции: 1 − x2 = 0, x = ±1,

X = (−∞, −1) (−1, 1) (−1, +∞).

Функция нечетная. График симметричен относительно начала координат, M (0, 0) — единственная точка пересечения с осями x и y.

На рис 3.9 показаны интервалы знакопостоянства функции.

Рис. 3.9. Знаки функции y

II. Поведение функции на границе области определения:

Асимптоты: x = −1 и x = 1 — вертикальные асимптоты, y = 0 — горизонтальная асимптота.

135

III. Исследование с помощью первой производной

Производная y = 0. Экстремумов нет. Знаки первой производной указаны на рис. 3.10. Функция возрастает на интервале (−1, 1) и

Рис. 3.10. Знаки производной y

убывает на интервалах (−∞, −1) и (1, +∞).

IV. Исследование с помощью второй производной

Знаки второй производной указаны на рис. 3.11.

Рис. 3.11. Знаки производной y

График функции выпуклый вниз (y > 0) на интервалах (0, 1) и (1, +∞), выпуклый вверх (y < 0) на интервалах (−∞, −1) и (−1, 0),

при x = 0 имеет точку перегиба.

136

График исследуемой функции изображен на рис. 3.12. 3. Исследование функции

y= (x + 1)3 . (x − 1)2

I.Ищем область определения X функции: x − 1 = 0, x = 1,

X = (−∞, 1) (1, +∞).

Функция общего вида, M1(−1, 0), M2(0, 1) — точки пересечения с осями.

На рис 3.13 показаны интервалы знакопостоянства функции.

137

Рис. 3.13. Знаки функции y

II. Поведение функции на границе области определения:

Асимптоты: x = 1 — вертикальная асимптота. Найдем наклонные асимптоты y = kx + b :

Таким образом, y = x + 5 — наклонная асимптота.

138

III. Исследование с помощью первой производной

y = 3(x + 1)2(x − 1)2 − 2(x − 1)(x + 1)3 = (x − 1)4

= 3(x + 1)2(x − 1) − 2(x + 1)3 = (x + 1)2(3x − 3 − 2x − 2) = (x − 1)3 (x − 1)3

= (x + 1)2(x − 5) . (x − 1)3

Знаки первой производной указаны на рис. 3.14.

Рис. 3.14. Знаки производной y

Функция возрастает на интервалах (−∞, 1) и (5, +∞), убывает

График функции выпуклый вниз (y > 0) на интервалах (−1, 1) и (1, +∞), выпуклый вверх (y < 0) на интервале (−∞, −1), при

x = −1 имеет точку перегиба.

График исследуемой функции изображен на рис. 3.15.

139

Рис. 3.15. График функции y = (x + 1)3

(x − 1)2

4. Исследование функции

y = x2(x − 1) .

(x + 1)2

I. Ищем область определения X функции: x − 1 = 0, x = −1,

X = (−∞, 1) (1, +∞).

Функция общего вида, M1(0, 0) и M2(1, 0) — точки пересечения с осями.

На рис 3.16 показаны интервалы знакопостоянства функции.

140