MMATAN04

(1)

(ax)(n) = ax(ln a)n;

( ex)(n) = ex,

π

π

(2)

(sin x)(n) = sin

x + n

2

,

(3)

(cos x)(n) = cos

x + n

,

2

n + 1)x(m−n),

(4)

(xm )(n) = m(m

−

1)

· · ·

(m

−

(5)

(ln x)(n) = ( 1)n−1

(n − 1)!

,

−

xn

1

(n)

n!

(6)

= (−1)n

.

x + a

(x + a)n+1

Решения

1. x (y) =

1

, где y (x) = y (x(y)) = y . Находим

y (x)

x (y) =

1

· y · x (y) = −

y

−

,

y

2

y

3

x (y) =

−

y y 3

− 3y 2 y 2

·

x (y) =

3y 2

− y y

,

y 6

y 5

xIV (y) =

1

((6y y

− yIV y

− y y )y 5

− 5y 4 y (3y 2

− y y )) =

11

y

=

1

(5y y y

− y 2 yIV − 15y 3 + 5y y y ) =

7

y

=

1

(10y y y

− y 2 yIV − 15y 3 ).

7

y

101

2. Дифференцируем по x обе части уравнения

y2 + 2 ln y = x4,

полагая в нем y = y(x),

2y + 2

1

y = 4x3.

y

Откуда находим

y = 2x3

y

,

1 + y2

y = 6x2

y

+ 2x3

1 + y2 − 2y2

y

=

6x2y

+

4x6y(1 − y2)

=

1 + y2

1 + y2

(1 + y2)2

(1 + y2)3

=

2x2y

3(1 + y2)2 + 2x4(1 − y2) .

(1 + y2)3

3. Найти y(10), если y = √

.

x

Воспользуемся формулой (4) из основных формул:

y(10) = x

2

(10)

= 2

−2

−2

· · · 2 − 10 + 1 x

2 −

=

1

1

1

3

1

1

10

1

1

3

17

√

17!! √

x

x

=

−

−

· · ·

−

= −

.

2

2

2

2

x10

210

x10

4. Выделим у дроби y =

x2

целую часть:

1 − x

y =

(x2 − 1) + 1

=

(x + 1)

1

.

−

− x − 1

1 − x

Применяя формулу (6), получаем

y(8) = −

1

(8)

8!

8!

= −(−1)8

=

.

x − 1

(x − 1)9

(1 − x)9

102

10

d10 = d10(x · cos 2x) =

C10k

dk x d10−k cos 2x =

k=0

= x d10 cos 2x + 10 dx d9 cos 2x =

π

π

= x210 cos 2x + 10

dx10 + 10 dx

· 29 cos 2x + 9

dx9

=

2

2

= 210(−x cos 2x − 5 sin 2x) dx10.

7. Разложим дробь y =

1

на простейшие:

x2 − 3x + 2

1

1

1

1

y =

=

=

−

.

x2 − 3x + 2

(x − 2)(x − 1)

x − 2

x − 1

Тогда

1

1

y(n) = (−1)nn!

.

−

(x − 2)n+1

(x − 1)n+1

получаем

1

y = sin3 =

(3 sin x − sin 3x).

4

Откуда следует

3

x

π

−

3n

3x + n

π

.

y(n) =

sin

+ n

sin

4

2

4

2

8.1. y = sin(x + y).

8.2. x2 − xy + y2 = 1.

8.3. y =

a

1

; найти y .

8.4. y =

√

; найти y(100).

xm

1 − x

8.5. y = x2 sin 2x; найти y(50). 8.6. y = x · 2x;

найти d10y.

Найти производные n-го порядка от следующих функций:

1

1

8.7. y =

.

8.8. y = √

.

x(1 − x)

1 − 2x

8.9. y = sin2 x.

8.10. y = cos3 x.

y

=

cos(x + y)

y 2

=

y

y =

2x − y

8.1.

1 − cos(x + y)

;

−(1 − cos(x + y))3 . 8.2.

x − 2y ;

x

x

x

y 2 =

6

y

=

am(m + 1)(m + 2)

y(100) =

199!!

x

(x − 2y)3

. 8.3.

−

xm+3

. 8.4.

2100

×

1

1225

sin 2x).

×

. 8.5. y(50) = 250(−x2 sin 2x + 50x cos 2x +

100 + 1

2

(1 − x)

2

n

d10y = x2x(ln 2)9(x ln 2 + 10) dx10

n!

(−1)

+

1

8.6.

.

8.7.

xn+1

(1 − x)n+1

.

8.8.

(2n − 1)!!

. 8.9.

2n−1 cos 2x + n

π

. 8.10.

3

cos x + n

π

+

(1

−

2x)n +

21

−

2

4

2

3n

π

8.11.

u

+

20

du2

du d2u

d3u

+

4

2 .

cos

3x + n

2u d10

du d9u

+

90 d2u d8u

+

+240 d3u d7u + 420 d4u d6u + 252(d5u)2. 8.12. 2

− 3

+

.

u3

u2

u

105

Тогда

lim

f (x)

= lim

f (x)

.

x a g(x)

x a g (x)

→

→

Аналогично раскрываются неопределенности вида

∞

.

∞

lim

sin ax

=

0

= lim

a cos ax

=

a

.

1.

0

x→0

sin bx

x→0

b cos bx

b

lim

ch x − cos x

=

0

= lim

sh x + sin x

=

0

=

2.

0

x→0

x2

0

x→0

2x

= lim

ch x + cos x

= 1.

2

x→0

3 tg 4x − 12 tg x

0

1

−

1

=

3.

lim

=

= lim

cos4 x

cos2 x

3 sin 4x − 12 sin x

x→0

0

x→0

cos 4x − cos x

= lim

cos2 x − cos2 4x

cos x)

=

lim (cos x + cos 4x) =

−

2.

x

0 cos2 x cos2 4x(cos 4x

−

− x 0

→

→

tg 3x

∞

3

cos2 x

0

4.

lim

=

= lim

cos2 3x

= 3 lim

=

=

2

π

∞

π

1