Рисунок 3
31
Найдем разность фаз φ между фазами смещения х и скорости υx.
x Acos(ω0t φ) Acosφx |
|
|
|
υx υm sin(ω0t φ) υm cos(ω0t φ π / 2) υm cos φυ |
|
|
||
|
φ φx φυ π / 2, |
(1.3.2) |
то есть скорость опережает смещение на π/2. Аналогично можно показать, что ускорение в свою
очередь опережает скорость по фазе на π/2:
φυ φa π / 2 |
(1.3.3) |
Тогда ускорение опережает смещение на π, или |
|
φx φa π |
(1.3.4) |
32
то есть, смещение и ускорение находятся в противофазе
1.4 Основное уравнение динамики гармонических колебаний
• Исходя из второго закона, F ma, можно записать
F mω2 Acos(ω |
t φ) mω2 x |
(1.4.1) |
||
x |
0 |
0 |
0 |
|
Fx mω02 x
сила F пропорциональна х и всегда направлена к положению равновесия (поэтому ее и называют возвращающей силой). Период и фаза силы совпадают с периодом и фазой ускорения.
• Примером сил удовлетворяющих (1.4.1) являются упругие силы. Силы же имеющие иную природу, но удовлетворяющие (1.4.1) называются квазиупругими.
Квазиупругая сила |
Fx kx, |
(1.4.2) |
где k – коэффициент квазиупругой силы. |
33 |
|
|
||
Сравнивая (1.4.1) и (1.4.2) видим, что ω02 |
k |
ax d2 x |
||||||
m |
||||||||
|
|
|
|
|
|
dt2 |
||
Получим основное уравнение динамики гармонических |
||||||||
колебаний, вызываемых упругими силами: |
|
|||||||
d2 x |
d2 x |
d2 x |
|
k |
|
|||
m dt2 |
kx или m dt2 kx 0 ; |
dt2 |
|
|
x 0, тогда |
|||
m |
||||||||
|
|
Основное уравнение |
|
d2 x |
2 |
||
динамики гармонических |
|||
dt2 |
ω0 x 0 |
колебаний |
|
|
Решение этого уравнения всегда будет выражение вида
x Acos(ω0t φ)
34
Круговая частота колебаний ω0 |
|
2π |
||||||||||||
T |
||||||||||||||
но ω02 |
k |
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
||||
m |
|
|
||||||||||||
|
тогда T |
m |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
Период колебаний |
T 2π |
|
m |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
||||||
x Acosφ
35
1.5 Энергия гармонических колебаний
Рисунок 1
Потенциальная энергия тела U, измеряется той работой, которую произведет возвращающая сила Fx kx
36
|
dU |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
Fx |
; |
dU Fdx kxdx, отсюда U k |
xdx или |
|||||||
|
||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Потенциальная |
|
1 kA2cos2 (ω0t φ) |
|
|||||||
энергия |
U kx2 |
(1.5.1) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Кинетическая энергия |
|
|
|
|||||||
|
|
|
K |
mυ2 |
|
1 mω02 A2sin2 (ω0t φ) |
(1.5.2) |
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||
• Полная энергия: |
|
|
|
|
||||||
E U K 1 mω02 A2 |
, или E 1 mω02 A2 |
1 kA2 (1.5.3) |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
Полная механическая энергия гармонически колеблющегося тела пропорциональна квадрату амплитуды колебания.37
Колебания груза под действием сил тяжести
Максимум потенциальной энергии, (из 1.5.1)
Umax mgh 12 kA2
Максимум кинетической энергии Kmax m2υ2 1238kA2
но когда K max , U 0 и наоборот.
При колебаниях совершающихся под действием потенциальных (консервативных) сил, происходит переход кинетической энергии
впотенциальную и наоборот, но их сумма
влюбой момент времени постоянна.
39
Рисунок 5
На рисунке 6 приведена кривая потенциальной энергии
U 12 kx2
E 12 kA2.
1 2
E 2 kA . |
К = Е - U |
|
40