3.6. Практические примеры применения принципа максимума

3.6.1. Синтез программы управления мягкой посадкой космического летательного аппарата

Требуется найти программу управления u(t) двигателем космического летательного аппарата (КЛА), обеспечивающую его мягкую посадку с минимальным расходом топлива. В момент начала управления КЛА находится на некоторой высоте h(0)=h0 над поверхностью и имеет вертикальную составляющую скорости движения v(0)=v0. Мягкой посадкой называют спуск на поверхность таким образом, чтобы в момент T достижения поверхности (h(T)=0) вертикальная составляющая скорости также обратилась в ноль (v(T)=0). Начальная масса летательного аппарата, включая запас топлива, m(0)=m0 .

Движение летательного аппарата в проекции на вертикальную ось описывается уравнениями, полученными в примере 3, учитывается ограничение на сигнал управления – силу тяги двигателя:

0 ≤ u ≤ umax . Критерий оптимальности:

T

J (X,u)= m(0)− m(T)= x3 (0)− x3 (T)= −∫x3dt → min ,

0

где X(t)=(x1 (t),x2 (t),x3 (t)), x1 =h, x2 =v, x3 =m, x1 (0)=h0, x2 (0)=v0, x3 (0)=m0 , x1 (T)=0, x2 (T)=0, T=var.

Запишем уравнения объекта управления, выделив управляющий сигнал, составим функцию Гамильтона и уравнения Эйлера в канонической форме:

В рассматриваемой задаче имеет место также условие трансверсальности H(T)=0, но оно не дает полезной информации для решения.

48

Решение первых двух уравнений Эйлера позволяет найти две

сопряженные переменные в общем виде: ψ1 =c1 , ψ2 =c1 t+c2 . В силу отсутствия условий трансверсальности (25) найти констан-

ты c1 и c2 не удается. Сопряженная переменная ψ3 может быть определена только при совместном решении третьего уравнения Эйлера с уравнениями объекта управления (30), что возможно только после получения решения задачи, т. е. при известном u(t).

Применим принцип максимума:

Функция Гамильтона линейно зависит от u. Следовательно, локальный экстремум функции H по управлению отсутствует. Оптимальное управление может быть найдено только на границах области допустимых управлений. Другими словами, оптимальное управление должно выбираться по правилу:

С учетом полученных выше результатов проанализируем воз-

все производные правыми частями соответствующих уравнений

и ψ1 =c1 – константы, x3 =m – положительная величина, можно

сделать вывод о том, что знак dk сохраняется постоянным и dt

функция k изменяется монотонно. Следовательно, оптимальное управление может иметь не более одного переключения. Перечислим возможные варианты:

49

Второй вариант соответствует свободному падению КЛА на всем интервале управления, а третий – свободному падению на заключительном этапе. Очевидно, эти варианты должны быть исключены. Первый вариант может рассматриваться как частный случай четвертого при τ=0. Таким образом, оптимальное управ-

Конкретные значения τ и T, законы изменения высоты и скорости КЛА, а также итоговый расход топлива могут быть найдены в зависимости от конкретных значений начальных условий. Следует отметить возможность таких комбинаций начальных условий (большие отрицательные значения v0 при малых h0 и umax), при которых мягкая посадка не может быть обеспечена.

3.6.2. Синтез системы стабилизации, оптимальной по быстродействию

Рассматривается линейный стационарный объект управления,

описываемый системой уравнений X = AX + BU , где X – вектор переменных состояния размерности n, U – вектор управляющих сигналов размерности r, A и B – матрицы постоянных коэффициентов размерности [n×n] и [n×r ] соответственно. Требуется

сформировать программу управления и структуру системы, обеспечивающих стабилизацию данного объекта, т. е. достижение состояния xi (T)=0, i=1,2,…,n, за минимальное время. Предполагается наличие начальных условий xi (0)= xi 0 , i=1,2,…,n, и

ограничений на управление ul ≤ ulm , l=1,2,…,r.

Как показано в подразд. 3.1, оптимизируемый функционал

T

здесь вводится в виде J (X,U )=T = ∫dt → min .

0

Запишем уравнения объекта управления в развернутом виде и составим функцию Гамильтона:

50

Поскольку выражение (32) линейно относительно всех аргументов ui , нетрудно убедиться в отсутствии локального экстремума функции Гамильтона. Следовательно, оптимальное управление может быть найдено только на границах. Другими словами, каждая составляющая оптимального управления в рассматриваемой задаче может принимать только значения +ui m или -ui m .

Перепишем формулу (32) следующим образом:

Очевидно, что для достижения максимума здесь необходим выбор значений управляющих сигналов по правилу:

ют релейным [2].

А.А. Фельдбаум доказал следующую теорему (теорема об n интервалах) [6]: если характеристические числа матрицы A линейного объекта управления вещественные и область допустимых

управлений ограничена неравенствами вида ul ≤ ulm , то каждая

составляющая оптимального по быстродействию управления ку- сочно-постоянна и имеет не более n–1 переключений, где n – порядок модели объекта управления.

Итак, при соблюдении условий теоремы в рассматриваемой задаче каждый управляющий сигнал в пределах диапазона времени [0; T] должен принимать значения +ui m или –ui m и сохранять их в пределах интервалов [ti; ti+1], причем i=0,1,…,n; t0 =0, tn =T.

Характеристические (собственные) числа матрицы A могут

быть определены путем решения уравнения det(A–λE)=0, где E – единичный вектор размерности n.

Отметим, что результат теоремы распространяется на случай несимметричной относительно начала координат области допус-

тимых управлений: ulmin ≤ u ≤ ulmax , если только signul max = = –signul min.

51

Для случая комплексных характеристических чисел также доказано, что для линейного объекта, для которого все характеристические числа матрицы A лежат в левой полуплоскости (имеют отрицательную вещественную часть), всегда может быть однозначно определено оптимальное по быстродействию управление, если только границы допустимых значений всех составляющих управляющего сигнала имеют разный знак: signulmax=–signulmin [6].

Рассмотрим пример синтеза системы стабилизации искусственного спутника земли относительно продольной оси. Для выполнения своих задач, например, ретрансляции телевизионного сигнала или обеспечения мобильной связи, спутник должен достаточно точно сохранять определенную ориентацию в пространстве, в частности по углу поворота относительно продольной оси

(углу крена γ, рис. 16, а). В строгом смысле, необходимо обеспечивать определенное фиксированной значение угла крена при ну-

левой скорости поворота относительно продольной оси: γ=γтреб, γ = 0 . При составлении математической модели процесса стаби-

лизации обычно формально принимают γтреб=0. В случае появления, вследствие какого-либо внешнего воздействия, отклонения от требуемого состояния его необходимо восстановить за минимальное время. Таким образом, необходимо построить систему стабилизации, оптимальную по быстродействию.

Составим математическую модель объекта управления. В качестве переменных состояния будем рассматривать угол крена x1 =γ и угловую скорость x2 = γ . Управление угловым движением

спутника обеспечивается посредством создания двигателями системы ориентации момента силы M (рис. 16, б).

Рис. 16

52

Угловое движение объекта управления описывается линейными дифференциальными уравнениями, получаемыми на основе второго закона Ньютона для вращательного движения:

где J – момент инерции спутника относительно продольной оси, u = M/J – управляющий сигнал. Начальные условия для процесса стабилизации считаются заданными: x1 (0)=x1 0 , x2 (0)=x2 0 и могут иметь произвольные значения; правые граничные условия нулевые: x1 (T)=x2 (T)=0. Ограничение на управление определяется

предельной мощностью двигателей системы ориентации: u ≤ um .

Критерий оптимальности управления T → min . Таким образом, получен частный случай рассмотренной выше задачи, в котором объект управления описывается моделью второго порядка (n=2).

Определим вид процесса в системе при двух возможных зна-

где произвольные постоянные находятся для конкретных начальных условий, а в случае наличия переключения – с учетом условий припасовывания (29).

Далее воспользуемся интерпретацией процессов в системе на фазовой плоскости [2], удобной и наглядной для систем второго порядка. Координатами на фазовой плоскости являются перемен-

53

ные состояния объекта управления, процесс в системе отображается кривой – фазовой траекторией. Уравнения фазовых траекторий получим, исключив время из полученных уравнений.

Соответствующие фазовые траектории (рис. 17, а) будут представлять собой параболы, причем одна из них, уравнение которой

x1 = x22 / 2um , проходит через начало координат. Ее обозначим χ+.

Соответствующие фазовые траектории (рис. 17, б) будут иметь вид парабол, причем траектория χ−, проходящая через начало ко-

ординат, описывается уравнением x1 = −x22 2um и проходит через

начало координат.

Таким образом, достичь требуемого состояния равновесия системы соответствующего началу координат, можно только по траекториям χ+ и χ−.

Далее с учетом возможности только одного переключения управления в рассматриваемой задаче можно сделать следующие выводы: если точка (x10, x20), соответствующая начальным услови-

54