1.4. Точка на комплексном чертеже

Поскольку положение точки в пространстве однозначно определяется тремя координатами, а каждая из проекций задает значение двух координат, то легко сделать вывод, что положение точки в пространстве однозначно определяется двумя любыми проекциями.

Кроме того, каждая пара проекций связана какой либо координатой. Так, проекции A'(x,y) и A"(x,z) связаны координатой x, проекции A"(x,z) и A"'(y,z) – координатой z, а A'(x,y) и A"'(y,z) – координатой y.

Таким образом, можно отметить, что при любых значениях координат точки (как положительных, так и отрицательных) справедливо следующее утверждение:

а) горизонтальная и фронтальная проекции точки однозначно определяют положение точки в пространстве и, поскольку связаны координатой x, лежат на одной прямой (линии проекционной связи), перпендикулярной оси X (рис. 1.14).

б) фронтальная и профильная проекции точки однозначно определяют положение точки в пространстве и, поскольку связаны координатой z, лежат на одной прямой (линии проекционной связи), перпендикулярной оси Z (рис. 1.15).

в) горизонтальная и профильная проекции точки однозначно определяют положение точки в пространстве и, поскольку связаны координатой y, лежат на одной прямой (линии проекционной связи), перпендикулярной раздвоенной оси Y (рис. 1.16).

На рис. 1.17 построены проекции точки М, у которой координата z равна нулю. Это означает, что, поскольку координата z задает удаление точки от горизонтальной плоскости проекций, заданная точка М лежит в горизонтальной плоскости проекций. В этом случае на чертеже могут быть указаны не только проекции точки, но и сама точка, совпадающая со своей горизонтальной проекцией.

Рис. 1.18 иллюстрирует проекции точки N, находящейся на оси X, так как ее координаты y и z имеютнулевыезначения. Здесьсовпадаютгоризонтальная, фронтальнаяпроекцииточкиисаматочкаN.

И, наконец, отметим, что рассмотренный комплексный чертеж является обратимым, так как позволяет решать как прямую задачу (по заданным координатам построить проекции точки), так и обратную (по заданным проекциям определить координаты точки).

Исходными данными для прямой задачи являются координаты точки, заданные в виде последовательности трех чисел (координат x, y и z), заключенных в скобки.

Например, необходимо построить проекции точки A(20,15,25) (рис. 1.19,а). Рекомендуется следующий порядок построения. Сначала строится фронтальная проекция точки по координатам x=20, z=25 (рис. 1.19,б), затем по координатам x=20, y=15 – горизонтальная проекция точки (рис. 1.19,в). Обратите внимание, что для горизонтальной проекции ось Y направлена вниз.

Профильная проекция точки строится по координатам y=15, z=25, при этом ось Y направлена вправо (рис. 1.19,г). На рис. 1.20 приведены результаты построения проекций точки B, находящейся во II октанте, а на рис. 1.21 – точки C, которая находится в VI октанте.

Обратная задача – по заданным проекциям определить координаты точки. Для этого обычно задают две проекции точки, а задачу дополняют требованием построить недостающую проекцию. Рассмотрим такую задачу на примере точки D, две проекции которой заданы на рис.1.22,а. По фронтальной проекции точки определяются координаты x и z (рис. 1.22,б), а по горизонтальной проекции – координата y (рис. 1.22,в), которая указывается вдоль оси yπ1 . У точки D координата

x > 0, y < 0, z < 0 – точка лежит в III октанте. Для построения недостающей профильной проекции необходимо координату y отложить на оси yπ3 и построить D′′′ по координатам y и z (рис. 1.22,г).

Одним из этапов построения чертежа является перенос координаты y между осями yπ1 и yπ3 (мы помним, что в пространстве ось Y всего одна). В рассмотренных выше примерах этот пе-

ренос осуществлялся с помощью дуги окружности, центр которой находится в начале координат. На рис. 1.23 вместо дуги использовалась ее хорда. На рис. 1.24,а для переноса координаты y использовалась прямая k0, называемая постоянной прямой эпюра Монжа. Эта прямая проходит через начало координат под углом 45°.

Обратите внимание, что линии проекционной связи на чертеже, где использована постоянная прямая эпюра Монжа, образуют в общем случае прямоугольник (рис. 1.24,б), причем в ряде случаев оси системы координат не изображаются, образуя безосный чертеж (рис. 1.24,в). Такие чертежи используют, когда нет необходимости задавать точное положение геометрического объекта относительно плоскостей проекций. Если при работе с безосным чертежом возникнет необходимость провести ось, то это можно сделать где угодно, помня о направлении.

При использовании на безосном чертеже постоянной прямой эпюра Монжа необходимо иметь в виду, что такая прямая на чертеже может быть только одна (рис. 1.25).

11

12