4.1.3. Точка встречи прямой с проецирующей плоскостью

Прежде всего уточним, что же такое в общем случае точка встречи (или точка пересечения) прямой и плоскости. Совершенно очевидно, что это точка, которая принадлежит одновременно как прямой, так и плоскости.

Поставим конкретную задачу: определить точку встречи прямой l с горизонтальнопроецирующей плоскостью (рис. 4.8,а). Обозначим эту искомую точку как точку A. Из условия принадлежности точки прямой мы знаем, что точка принадлежит прямой, если ее проекции лежат на соответствующих проекциях прямой. Поэтому фронтальная проекция будет где-то на l′′, а горизонтальная – где-то на l′ (рис. 4.8,б). Поскольку плоскость горизонтально-проецирующая и обладает свойством собирательности, горизонтальная проекция искомой точки A будет лежать на горизонтальном следе плоскости α(рис. 4.8,в).

Таким образом, A′ должна находиться и на l′ и на h0α , следовательно, ей уготовано единственное место, где l′ и h0α пересекутся (рис. 4.8,г). Проведя линию проекционной связи, мы

легко получим фронтальную проекцию искомой точки (рис. 4.8,д).

На рис. 4.9 приведены примеры решения подобных задач при различных способах задания проецирующей плоскости. Искомая точка пересечения прямой с плоскостью обозначена как точка A. Обратите внимание на рис. 4.9,г. Здесь искомая точка A вышла за границы CDE. Ничего удивительного в этом нет. Не следует забывать, что плоскость бесконечна. Сам треугольник CDE лишь задает эту плоскость, а не ограничивает ее.

48

49

Рис. 4.9 (окончание)

4.1.4. Линия пересечения двух плоскостей, одна из которых проецирующая

Прежде всего определим, что же такое в общем случае линия пересечения двух плоскостей. Во-первых, это прямая, а во-вторых, эта прямая принадлежит каждой из пересекающихся плоскостей. При этом полезно вспомнить, что прямая линия в пространстве задается двумя несовпадающими точками.

Сейчас мы рассмотрим, пожалуй, самую простую задачу на тему «плоскость». Требуется построить линию пересечения двух плоскостей, одна из которых горизонтально-проецирующая (плоскость α ), а другая фронтально-проецирующая (плоскость β). Исходные данные этой задачи изображены на рис. 4.10,а.

Пусть линия пересечения этих плоскостей обозначена как прямая l. Прямая l будет принадлежать как плоскости α , так и плоскости β.

Мы хорошо помним о свойстве собирательности проецирующих плоскостей. Следовательно, горизонтальная проекция прямой l, как принадлежащей горизонтально-проецирующей плоскости α , будет совпадать с горизонтальным следом этой плоскости, т.е. l′≡ h0α . Фронтальная проекция прямой l совпадает с фронтальным следом плоскости β, т.е. l′′ ≡ f0β . Таким образом, для решения этой задачи никаких геометрических построений не понадобилось, достаточно лишь обозначить проекции искомой прямой (рис. 4.10,б).

Теперь перейдем к случаю, когда одна плоскость – горизонтально-проецирующая, а другая является плоскостью общего положения (рис.4.11а). Определим проекции линии их пересечения – прямой l. Прямая l принадлежит горизонтально-проецирующей плоскости α , поэтому ее горизонтальная проекция совпадает с горизонтальным следом этой плоскости (рис. 4.11,б).

С другой стороны, прямая l принадлежит плоскости общего положения β. Поскольку горизонтальная проекция прямой l уже известна, отметим на ней горизонтальные проекции точек 1 и 2, принадлежащих плоскости β (рис. 4.11,в). Построим фронтальные проекции этих точек (рис. 4.11,г), что даст нам возможность, соединив их, определить фронтальную проекцию искомой прямой l. Задача решена.

50

51