3.3. Уравнение Бернулли для реальной вязкой жидкости

Будем считать, что по всему поперечному сечению . Строго говоря, это утверждение справедливо только для параллельных трубок тока. Выделим в общем потоке элементарную струйку, такую тонкую, что изменением параметров в поперечном сечении будем пренебрегать. От трубки к трубке скорость потока будем считать переменной.

Введем понятие элементарной мощности потока dN, которая переносится элементарной струйкой. Известно, что мощность равна(dE– приращение энергии), тогда элементарная мощность равна

.

Полный напор элементарной струйки равен

.

Из последнего выражения выразим и, учитывая последнее выражение, представим элементарную мощность в виде

.

Проведем преобразования: ;;;, гдеQ– объемный расход жидкости, – удельный вес жидкости. Тогда

,

где .

Мощность всего потока определится как

.

Пользуясь теоремой о среднем: , можем записать:

; (3.1)

.

Подставляя выражение полного напора в (3.1), получим

;;

, (3.2)

где – коэффициент неравномерности потока (Кориолиса). (3.3)

Экспериментально установлено следующее:

, (3.4)

где – суммарные потери полного напора в канале между сечениями1и2.

Уравнение (3.4) – это уравнение Бернулли для реальной вязкой жидкости. Развернутая форма уравнения Бернулли имеет вид:

.

Отметим, что уравнение неразрывности для течения реальной вязкой жидкости (для сечений 1и2) примет вид:

.

Существует 2 вида потерь полного напора:

1. потери по длине потока ; они обуславливаются вязкостью реальной жидкости (трением), для их существования необходима достаточная длина канала;

2. местные потери . Они возникают в тех местах (внезапное расширение, поворот потока и др.), где изменяется конфигурация потока, приводящая к деформации эпюр распределения скоростей в поперечном сечении трубы.

Местные потери могут быть оценены с помощью формулы Вейсбаха:

,

где ξ – коэффициент сопротивления (местного сопротивления).

Для местных сопротивлений V_cp– средняя по сечению скорость в трубе, в которой установлено данное местное сопротивление. Если же диаметр трубы и, следовательно, скорость в ней изменяется по длине, то за расчетную скорость удобнее принимать большую из скоростей, т.е. ту, которая соответствует меньшему диаметру трубы (см. уравнение неразрывности).

Каждое местное сопротивление характеризуется своим значением коэффициента сопротивления ξ, которое во многих случаях приближенно можно считать постоянным для данной формы местного сопротивления (при развитом турбулентном течении, подробнее – см. ниже). Нахождение численных значений коэффициента ξ для различных местных сопротивлений подробно рассмотрено ниже.

Потери на трение для круглой трубы длиной lи диаметромdможно представить в виде (формула Дарси):

,

где – коэффициент гидравлического сопротивления трения (коэффициент потерь на трение, коэффициент трения).

Нахождение численных значений коэффициента λдля различных режимов течения жидкости (ламинарный, турбулентный) подробно рассмотрено ниже.

3.5. Уравнение Бернулли для относительного движения

Вращательное движение вокруг вертикальной оси.

рис. 3.7

Запишем уравнение Бернулли для сечений 1-1и2-2(рис. 3.7).

,

где – инерционный напор (работа сил инерции, отнесенная к единице веса).

На единицу веса действует сила инерции (). Работа этой силы при перемещении вдоль радиуса на расстояниеdrравна, а при перемещении от радиусаr₁до радиусаr₂:,.

Если перемещение жидкости под действием силы инерции от радиуса r₁доr₂приводит к увеличению скорости, то имеет положительный знак, если наоборот, то знак будет, соответственно, отрицательным. В уравнении Бернулли обычно переносят в правую часть, при этом при вычислении инерционного напора знак меняется на обратный.