Ко 2 сессии / Бобрович_Механика

ских знаний современной физики.

7.3. Преобразования Лоренца

Любой физический процесс − это последовательность событий. Событие определяется местом (координатами), где оно произошло, и моментом времени, когда оно произошло.

Пусть координаты некоторого события в системе отсчета I равны х, у, z, а в системе II они х', у', z' (рис. 7.2.1). Установим связь между ними, исходя из принципов Эйнштейна, которая должна быть линейной, т. к. закон инерции подтверждается при всех скоростях, вплоть до максимальной скорости с (движение по прямой линии в системе I остается таковым и в системе II). Поэтому форма связи должна быть следующей:

Множитель α в обеих формулах один и тот же, т. к. системы I и II совершенно равноправны. Формулы (7.3.1) относятся к любым событиям, а множитель α можно определить, рассматривая какое-либо частное событие. Для определения α, рассмотрим распространение света в направлении оси абсцисс от начала координат приход света в точку х1 в момент t1 (в системе I), что также означает приход его в точку x1′ в момент t1′ (в системе II).

В соответствии со вторым принципом Эйнштейна, путь света в системе I и II равен

и два равенства должны выполняться на основе формул (7.3.1)

Если два равенства (7.3.3) перемножить x1x1′ и заменить на основании (7.3.2) через c2t1t1′, то, после сокращения на t1t1′, получим c2 = = α2(c2 − υ2), откуда

Подставляя найденное значение α в формулы (7.3.1), получим

80

Из второй формулы (7.3.5) легко определить t' (после подстановки x'). Тогда окончательно имеем

Такова связь между координатами (включая время) одного и того же события в двух инерциальных системах отсчета I и II (штрихованная система I движется относительной не штрихованной II со скоростью υ в направлении оси х).

Не составляет труда преобразовать формулы (7.3.6) к виду

что означает, что относительно системы K′ система K движется в отрицательном направлении оси x′ с той же самой скоростью υ.

Формулы (7.3.6) известны в науке как прямые преобразования Лоренца, а формулы (7.3.7) обратные преобразования Лоренца. Вся физическая теория (механика, электродинамика и др.) подлежала после их открытия такой перестройке, чтобы связи (7.3.6) и (7.3.7) были учтены. Это было осуществлено в специальной теории относительности (сначала в электродинамике Эйнштейном; позже – в механике).

7.4. Следствия из преобразований Лоренца

1) Относительность одновременности. Одновременность пространственно разделенных событий относительна. По определению, два события, которые происходят в разных точках х1 и x2 системы К, являются одновременными, если они происходят в один и тот же момент времени t1 = t2 ( t = 0) по часам, расположенным в

81

этих точках. При этом предполагается, что часы синхронизированы согласно определению Эйнштейна. В системе К' эти же события произойдут в точках с координатами x1′ и x2′ в моменты времени t1′

и t2′ . Использовав преобразования Лоренца, покажем, что события,

одновременные в системе К, в системе К' будут происходить в разные моменты времени. Воспользуемся преобразованиями Лоренца

(7.3.6)

по определению, называется расстояние между двумя точками этой системы координат, с которыми совпадают начало и конец тела в один и тот же момент времени по часам, расположенным в этих же точках используемой системы (рис. 7.4.1). Это значит, что l = х2 − х1 , если t2 = t1 . В собственной системе отсчета К′, в которой рассматриваемый объект покоится, собственная длина тела, l0 = x2′ − x1′. Вос-

пользуемся преобразованиями Лоренца (7.3.6).

82

Соответственно, длина l линейки, измеренная в ИСО К, всегда меньше l0 − так называемой собственной длины, измеренной в системе покоя линейки К′. Это явление называется релятивистским сокращением длин и помимо данного кинематического рассмотрения может быть выведено также и динамически из изменения сил, действующих между частицами вещества при его движении.

3) Интервал времени между двумя событиями. Собственным временем τ0 называется интервал времени между двумя событиями, которые произошли в одной и той же точке собственной системы: отсчета, связанной с движущимся со скоростью υ объектом. Это значит, что в системе К' время τ0 = t2′ −t1′определяется при

условии, что x2′ = x1′, т. е. события происходя в одной и той же точке системы К', которая движется равномерно и прямолинейно с скоростью υ. С учетом сказанного из преобразования Лоренца следует

7.5. Теорема сложения скоростей в СТО

Формула преобразования скоростей в СТО устанавливает связь между проекциями скорости точки в двух произвольных инерциальных системах отсчета. Пусть в системах отсчета К и К' движение материальной точки определяется координатным способом

83

Воспользуемся преобразованиями Лоренца (7.3.7) и продифференцируем

Выражения (7.5.4−7.5.6) являются формулами преобразования скоростей при переходе от одной системы отсчета в другую (реляти-

вистский закон сложения скоростей).

Если аналогичные действия проделать с обратными преобразованиями Лоренца в форме (7.3.6), то получим выражение для скоростей в системе К′ через скорости в системе К.

84

7.ЭЛЕМЕНТЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МЕХАНИКИ Лекция № 12

7.6.Импульс в релятивистской механике.

7.7.Релятивистские законы Ньютона.

7.8.Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии.

7.9.Связь между энергией и импульсом частицы.

7.6.Импульс в релятивистской механике

Принцип относительности СТО предполагает, что все уравнения релятивистской динамики должны быть инвариантными относительно преобразований Лоренца. Поэтому инвариантность формулируемых законов движения в релятивистской механике является определяющим критерием того, что они правильно отражают физическую реальность.

В классической механике Ньютона импульс определяется соотношением pr = mυr . Требование, что в релятивистской механике (как и

в механике Ньютона) для изолированной системы тел в любой инерциальной системе отсчета выполнялся закон сохранения импульса, и учет законов преобразования скоростей при переходе из одной системы отсчета в другую, приводит к тому, что импульс релятивистской частицы будет определяться выражением

массой покоя частицы, т. е. масса частицы в собственной системе отсчета.

Выражение (7.6.1) позволяет сделать важнейший вывод: в реля-

тивистской динамике масса частицы зависит от скорости ее дви-

жения. При υ << c (это соотношение всегда выполняется в классической механике), получаем m = m0 = const.

7.7. Релятивистские законы Ньютона

Первый закон Ньютона, являющийся выражением принципа

85

относительности, сохраняет свою классическую формулировку в релятивистской динамике.

Выражение для второго закона Ньютона в релятивистской механике также сохраняет свою классическую формулировку при условии, что импульс определяется по формуле (7.6.1)

Релятивистское уравнение (7.7.1) инвариантно относительно преобразований Лоренца.

Третий закон Ньютона в релятивистской динамике справедлив только для контактных сил. В классической механике для сил, действующих на расстоянии, предполагается мгновенная передача взаимодействия без материального посредника. Это несовместимо с релятивистским положением о том, что максимальная скорость передачи взаимодействия не может быть больше скорости света в вакууме. Поэтому для взаимодействий с конечной скоростью распространения третий закон Ньютона в своей классической формулировке неприменим.

7.8. Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии

Понятие энергии в релятивистской механике сохраняет тот же смысл, что и в классической механике. Однако требование инвариантности уравнений релятивистской механики относительно преобразований Лоренца приводит к установлению взаимосвязи между энергией E и массой т частицы, а также к изменению выражения для ее кинетической энергии К.

Найдем выражение для кинетической энергии материальной точки в релятивистской механике. Изменение кинетической энергии материальной точки при элементарном перемещении drr равно

работе, совершаемой силой F , действующей на точку, при этом перемещении

Воспользуемся релятивистским выражением второго закона Ньютона(7.7.1), исучетом drr = υdt получаем

86

Сучетом υrdυr = d υ2 из выражения (7.8.2) получаем

2

где С – постоянная интегрирования.

Найдем постоянную интегрирования С. Для этого воспользуемся условием, что при υ = 0 кинетическая энергия К должна быть тоже равна нулю. С учетом этого из выражения (7.8.4) получаем C = −m0 c2.

Таким образом, релятивистское выражение для кинетической энер-

гии имеет вид

87

называется полной энергией свободной частицы (при отсутствии внешних полей).

Величина

называется энергией покоя (при υ = 0).

С учетом формул (7.8.6, 7.8.7) выражение для кинетической энергии (7.8.5) можно записать в виде

Таким образом, при малых скоростях движения материальной точки ее кинетическая энергия, вычисленная по релятивистской формуле (7.8.5), совпадает с выражением (7.8.9) для энергии в классической механике.

Из соотношения (7.8.6) следует также важный вывод: энергия тела пропорциональна его релятивистской массе. Всякое изменение энергии тела сопровождается изменением его релятивистской массы и, наоборот, всякое изменение релятивистской массы сопровождается изменением энергии тела

88

Это утверждение носит название закона взаимосвязи релятивистской массы и энергии.

7.9. Связь между энергией и импульсом частицы

Для установления взаимосвязи между энергией и импульсом частицы возведем в квадрат выражение для релятивистской массы