Ко 2 сессии / Бобрович_Механика

комплексно сопряженную ее волновую функцию

Найдем плотность вероятности обнаружения микрочастицы на оси Ох:

Таким образом, свободная микрочастица с импульсом р и энергией Е с одинаковой плотностью вероятности может быть обнаружена в любой точке оси Ох. r

Из выражения (8.7.2) следует, если вектор импульса p постоя-

нен (свободная частица), то ее квантово-механическое состояние описывается плоской волной де Бройля (8.6.1), которая приводит к однородному распределению плотности вероятности. Поскольку плотность вероятности обнаружить такую квантовую частицу в каждой точке бесконечного пространства одинакова, мы фактически ничего не можем сказать о ее координате х в любой заданный момент времени t, т. е. при фиксированном значении импульса координатах частицы не определена. Это один из примеров «парадоксов квантовой механики» (в классической механике Ньютона каждому значению координаты х соответствует определенное значение импульса движущейся частицы).

Таким образом, частица не имеет определенных значений координаты, импульса, энергии. Можно лишь в общем случае утверждать, что значения x, y, z, p, E лежат в пределах соответствующих интервалах координат ( х, у, z), импульса ( рх , ру , рz) и энергии ( Е),

которые связаны соотношениями неопределенностей Гейзенберга:

tE ≥ h.

Всоответствии с формулами (8.7.3) принцип Гейзенберга гла-

сит: любая квантовая система не может находиться в состояниях, в которых координаты ее центра инерции (для частицы − координаты частицы) и импульс одновременно принимают вполне определенные значения.

100

Это значит, что для квантовой частицы нельзя одновременно указать точные значения координат и проекций импульса. В квантовой механике теряет смысл понятие траектории движения частицы, так как если мы точно определим значения координат, то ничего не сможем сказать о направлении ее движения (т. е. импульсе), и наоборот.

8.8. Уровни энергии и волновая функция частицы, находящейся в прямоугольной потенциальной яме

Уравнения (8.4.1) и (8.4.6) являются сложными дифференциальными уравнениями в частных производных. Известны аналитические решения только для очень простых зависимостей потенциальной

Поскольку потенциальная энергия U за границами ямы бесконечно велика, то вероятность нахождения частицы за пределами ямы равна нулю. Тогда значения функции ψ на границах ямы (в точках с координатами х = 0 = L) должны быть равны нулю, т. е. получаем граничные условия для собственной волновой функции ψ(х):

Так как внутри ямы U = 0, то уравнение (8.8.2) примет вид

101

Общее решение дифференциального уравнения (8.8.6) имеет вид

Подставим в формулу (8.8.7) первое граничное условие из (8.8.3)

С учетом второго граничного условия из (8.8.3) решение уравнения (8.8.8) будет иметь вид

Подставим второе граничное условие (8.8.3) в выражение (8.8.9)

Выполнения условия (8.8.10), возможно лишь в случае, если

Значение n = 0 отпадает, поскольку при этом получается ψ = 0 − частица нигде не находится.

Подставим в выражение (8.8.11) выражение (8.8.5)

Из выражения (8.8.12) видно, что спектр собственных энергий

частицы в рассматриваемой потенциальной яме является дискретным. Этот результат согласуется с гипотезой Планка о квантовании энергии и является характерным свойством уравнения Шредингера. Также следует отметить то факт, что энергия микрочастицы в состоянии с наименьшим значением п = 1 (в основном состоянии) не

102

равна нулю.

Число n, определяющее допустимые значения энергий микрочастицы, называется главным квантовым числом. Квантовое стационарное состояние с заданным значением n имеет фиксированное значение энергии Еn (Еn = const). Состояние с фиксированной энергией соответствует в классическом случае движению частицы некоторой орбите, параметры которой удовлетворяют закону сохранения энергии

(К + П = const).

Из выражения (8.8.11) следует, что волновое число

Так как волновое число k связано с длиной волны де Бройля λБр соотношением

то соответствующие длины волн де Бройля должны удовлетворять условию, при котором

т. е. на ширине L потенциальной ямы должно укладываться целое число полуволн де Бройля, (или целое число стоячих волн де Бройля).

Найдем выражение для волновой функции частицы, находящейся в бесконечной потенциальной яме. Подставим выражение (8.8.14) в выражение (8.8.9)

Для нахождения значения А воспользуемся условием нормировки волновой функции (8.3.7)

103

Подставим (8.8.17) в выражение (8.8.16) и получим

Полное выражение для волновой функции будет иметь вид

Квадрат модуля волновой функции, который является плотностью вероятности нахождения частицы заданной точке пространства, равен

= 1, 2, 3, 4) уровни спектра энергий (рис. 8.8.2, а), волновые функции (рис. 8.8.2, б) и плотность вероятности нахождения частицы заданной точке (рис. 8.8.2, в).

104

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ

ИТЕРМОДИНАМИКИ

9.МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ

Лекция № 15

9.1.Основное уравнение молекулярно-кинетической теории.

9.2.Внутренние степени свободы молекул.

9.3.Закон распределения энергии молекулы по степеням свободы.

9.4.Внутренняя энергия идеального газа.

Молекулярная физика представляет собой раздел физики, изучающий строение и свойства вещества исходя из молекулярнокинетических представлений о природе материальных тел. Согласно этим представлениям, что любое тело состоит из большого количества весьма малых обособленных частиц − молекул, атомов, ионов. Эти частицы находятся в беспорядочном, хаотическом, не имеющем преимущественного направления движении (т. е. все направления движения частиц равноправны). Также учитывается, что все частицы взаимодействуют между собой.

Для исследования макроскопических процессов в телах, связанных с огромным числом содержащихся в них атомов и молекул применяются два качественно различных и взаимно дополняющих друг друга метода: молекулярно-кинетический (статистический) и термо-

динамический. Первый лежит в основе статистической физики, а второй − термодинамики.

Молекулярно-кинетическая теория ставит своей целью объяс-

нить свойства тел, непосредственно наблюдаемые на опыте, как суммарный эффект действия большого числа взаимодействующих частиц. Законы поведения огромного числа частиц изучают с помощью статистического метода. При этом методе интересуются не движением отдельных частиц, а поведением таких физических величин, средние значения которых характеризуют движение огромной совокупности частиц.

9.1. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа

В молекулярно-кинетической теории пользуются идеализированной моделью идеального газа, согласно которой:

1)собственный объем молекул пренебрежимо мал по сравнению

собъемом сосуда, в котором находятся молекулы;

105

2)между молекулами газа отсутствуют силы взаимодействия;

3)столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда являются абсолютно упругими;

4)время столкновения молекул друг с другом пренебрежимо мало по сравнению со временем свободного пробега молекул.

Рассмотрим экспериментальные законы, описывающие поведение идеального газа:

V Процесс, протекающий при постоянной температуре, называется изотермическим. Кривая, изображающая зависимость между пара-

метрами p и V, характеризующими состояние газа при постоянной температуре называется изотермой (рис. 9.1.1).

2) закон Гей − Люссака: объем данной V

массы газа при постоянном давлении изменяется линейно с температурой.

Процесс, протекающий при постоянном давлении, называется изобарическим. На диаграмме в координатах V, Т этот процесс изображается прямой линией, называемой изобарой (рис. 9.1.2).

3) закон Шарля: давление данной массы газа при постоянном объеме изменяется линейно с температурой.

106

м3/моль. В одном моле различных веществ содержится одно и тоже число молекул, равное постоянной Авогадро: NA = 6,02 · 1023 моль−1.

5) закон Дальтона: давление смеси идеальных газов равно сум-

Парциальное давление − давление, которое оказывал бы газ, входящий в состав газовой смеси, если бы он один занимал объем, равный объему смеси при той же температуре.

Состояние некоторой массы газа определяется тремя термодинамическими параметрами: давлением, объемом и температурой, между которыми существует связь, называемая уравнением состояния f (p, V, T) = 0, где каждая из переменных является функцией двух других. Французский физик и инженер Клапейрон, объединив законы Бойля-Мариотта, Шарля и Гей − Люссака, вывел уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона): для данной массы газа вели-

чина pV/T остается постоянной, т. е.

Менделеев Д. И. объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро, отнеся уравнение Клапейрона к одному молю газа и использовав молярный объем Vm. Согласно закону Авогадро, при одинаковых давлении и температуре, моли всех газов занимают одинаковый молярный объем, поэтому газовая постоянная будет одинаковой для всех газов. Эту общую для всех газов постоянную обозначили R = = 8,31 Дж/(кг · К) и назвали универсальной газовой постоянной. Таким образом, уравнение Клапейрона приобрело вид

107

Выражение (9.1.6) называют уравнением состояния идеального газа или уравнение Менделеева − Клапейрона.

От уравнения состояния идеального газа можно перейти к уравнению для произвольной массы газа. Молярный объем равен

Пользуются также другой формой уравнения состояния идеального газа, вводя постоянную Больцмана k = R/NA = 1,38 · 10−23 Дж/К:

стенка в свою очередь действует на молекулу с равной по величине и противоположной по направлению силой. Величина этой силы, согласно второму закону Ньютона, равна скорости изменения импульса молекулы, т. е.

108