Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ко 2 сессии / Бобрович_Механика

.pdf

Скачиваний:

252

Добавлен:

26.03.2015

Размер:

6.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 174 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

4. ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА Лекция № 5

4.1.Динамика поступательного движения твердого тела.

4.2.Момент импульса. Момент силы.

4.3.Основное уравнение динамики вращательного движения относительно точки.

4.4.Закон сохранения момента импульса.

4.5.Момент инерции.

4.6.Теорема Штейнера. Правило аддитивности.

4.1. Динамика поступательного движения твердого тела

Движение любого твердого тела можно рассматривать как сумму поступательного движения его центра масс и вращательного движения относительно оси, проходящей через его центр масс.

Разобьем твердое тело на элементарные массы mi , тогда его можно представить как систему материальных точек, взаимное расположение которых остается неизменным. Поэтому для описания поступательного движения тела можно использовать закон изменения импульса механической системы

dpr r		r	r	,	(4.1.1)
	= F	+ F	+..... + F	,	(4.1.1)
dt	1	2	n
dt

pr = ∑n miυri = mυrC − импульс всех материальных точек твердого тела.

i=1

Также можно воспользоваться понятием центра масс и к поступательному движению твердого тела применить закон движения центра масс

	dυ	r	r	r
m	C	= F	+ F	+..... + F .	(4.1.2)
m		= F	+ F	+..... + F .	(4.1.2)
	dt	1	2	n
	dt

Центр масс твердого тела движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса тела, и на которую действуют все силы, приложенные к телу. Уравнение (4.1.2) дает возможность установить закон движение центра масс твердого тела, если известна масса тела и действующие на него силы. Если тело движется только поступательно, то это уравнение будет определять не только закон движения центра масс, но и любой другой точки тела.

4.2. Момент импульса. Момент силы

Момент силы. Векторнаяr величина, равная векторному произведению радиус-вектора r точки, проведенному из полюса в точку

приложения силы, на силу F называется моментом силы материаль-

ной точки относительно некоторого центра
r	r	(4.2.1)
M = r	×F .	(4.2.1)

rПусть на частицу массой m действует сила

,а ее положение в некоторой инерциальной сис-F

теме отсчета характеризуется радиус-вектором r относительно начала координат. Тогда момент силы частицы относительно точки О дается уравне-

нием (4.2.1). Направление момента силы M совпадает с направлением поступательного движения правого винта приr его вращении от радиус-

вектора rr к силе F , и онr перпендикулярен как

вектору rr, так и вектору F (рис. 4.2.1). Тогда модуль вектора момента силы равен

M = Fr sin α = Fd,

F α

	m
r	α
r	dr
	dr
O	M0
O	«к нам»

Рис. 4.2.1

(4.2.2)

где d = r sin α − плечо силы относительно точки О.

Плечо силы − это расстояние, измеряемое по перпендикуляру от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила.

Таким образом, модуль момента силы относительно оси, есть скалярная величина, характеризующая вращательное движение действия силы и равная произведению модуля силы

	pr		F, действующей на твердое тело, на плечо силы
			d относительно этой оси.
		m	Если на тело действует несколько сил,
Lr	rr	m	то суммарный момент этих сил равен векторной
Lr	rr		сумме моментов всех сил относительно данной
			оси:
			оси:

O «к нам»	r	n	r	n	r	r	(4.2.3)

Рис. 4.2.2	M = ∑Mi = ∑ ri					× Fi .

		i=1		i=1

Момент импульса. Векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора r точки, проведенного из центра на ее импульс mυr называется моментом импульса материальной точки относи-

тельно некоторого центра

l = rr×mV .

(4.2.4)

Пусть частица массой m имеет импульс p , а ее положение в не-

которой инерциальнойr системе отсчета характеризуется радиусвектором r относительно начала координат. Тогда момент импульса частицы относительно точки О дается уравнением (4.2.4). Направление момента импульса совпадает с направлением поступательногоr движения правого винта при его вращении от радиус-вектора r к импульсу pr , и он перпендикулярен как вектору r , так и вектору pr (рис.

4.2.2). Тогда модуль вектора момента импульса равен
L = rp sin α = pd,	(4.2.5)

где d − плечо импульса относительно точки О.

Плечо импульса − это расстояние, измеряемое по перпендикуляру от оси вращения до линии, вдоль которой направлен импульс.

Таким образом, модуль вектора момента импульса относительно центра или оси − есть скалярная величина, равная произведению импульса p на плечо импульса d относительно этой оси.

Моментом импульса механической системы относительно некоторого центра называется векторная величина, равная геометрической сумме моментов импульса относительно той же точки всех материальных точек системы

r	n	r	n	r	n	× pri ].
L = ∑li			= ∑ rri	×miVi	= ∑[rri	× pri ].	(4.2.6)
	i=1		i=1		i=1

4.3. Основное уравнение динамики вращательного движения относительно точки

Рассмотрим систему материальных точек массами m1 , m2 , …, mn

движущихся со скоростями υ1 , υ2 , …,

υn . Пусть на каждую из этих

точек действуют: равнодействующие внутренних сил Fri ,

Fri , …,

F i ,

и равнодействующие внешних сил F e , F e , …, F e .

Запишем уравнения движения частиц:

dυr

, …

dυ

r i

(4.3.3)

= F

+ F

= F

+ F

Умножим каждое уравнение системы (4.3.3) на соответствующий радиус-вектор и получим

dυ

= r

× F

+ r

× F

………..,

dυ

= r

× F

+ r

× F

Преобразуем данные уравнения

dtd [rr1 ×m1υr1 ]= rr1 × Fr1e + rr1 × Fr1i , dtd [rrn ×mnυrn ]= rrn × Frne + rrn × Frin .

Сложим эти уравнения и получим

d	n	r	r	n	r	re	n	r	ri
	∑[ri		×miυi ]= ∑ ri			× Fi	+ ∑ ri		× Fi	.
	∑[ri		×miυi ]= ∑ ri			× Fi	+ ∑ ri		× Fi	.
dt i=1				i=1			i=1

(4.3.4)

(4.3.5)

(4.3.6)

В последнем уравнении:

n	r	r	]=	dL		− есть момент импульса системы,
∑[ri		×miυi	]=	dt		− есть момент импульса системы,
i=1				dt
n	r	r		n	r
∑ ri		× Fii	= ∑Mii				− сумма моментов внутренних сил,
i=1			i=1
n	r	r		n	r
∑ ri		× Fie	= ∑Mie				− сумма моментов внешних сил.
i=1			i=1
		Таким образом, выражение (4.3.6) можно записать в виде
							dL	n r i	n r e	(4.3.7)
							dt	= ∑Mi	+ ∑Mi .	(4.3.7)
							dt	i=1	i=1

Учитывая, что моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил для любой

n r

системы всегда равна нулю, т. е. ∑Mii = 0 , получим основное уравне-

i=1

ние динамики вращательного движения относительно точки (или иначе закон изменения момента импульса механической системы)

dL	n	r e	(4.3.8)
dt	= ∑Mi .
	i=1

Производная по времени от момента импульса системы относительно точки равна сумме моментов внешних сил относительно этой точки.

4.4. Закон сохранения момента импульса

		n	r
Если момент внешних сил ∑Miе = 0 , то получим
	dLr	i=1
	dLr	= 0 или	L = const	(4.4.1)
	dt	= 0 или	L = const	(4.4.1)
	dt

закон сохранения момента импульса.

Если момент внешних сил действующих на механическую систему относительно центра оси равен нулю, то момент импульса системы относительно этого центра с течением времени не изменяется.

Можно сказать, что момент силы при вращательном движении является аналогом силы при поступательном движении, момент импульса − аналогом импульса.

Законы изменения и сохранения момента импульса механической системы можно применить и к вращательному движению твердого тела.

4.5. Момент инерции

Моментом инерции твердого тела относительно данной оси называется физическая величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении вокруг этой оси и равная сумме произведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от той же оси:

∑mi Ri2 = Iz . (4.5.1)

i=1

Момент инерции зависит только от формы тела и расположения масс относительно оси. [I] = 1 кг · м2.

Понятие момента инерции было введено при рассмотрении вращения твердого тела. Однако следует иметь в виду, что каждое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси.

Если тело сплошное, то суммирование в выражении (4.5.1) следует заменить на интегрирование:

Iz = ∫R2dm =∫ρR2dV ,

(4.5.2)

где R − расстояние от элементарной массы dm до оси вращения.

4.6. Теорема Штейнера. Правило аддитивности

Существуют два свойства момента инерции:

1) Теорема Штейнера: момент инерции тела Iz относительно произвольной оси равен сумме момента инерции Ic относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния a между осями:

Iz = Icz + md2.

(4.6.1).

2) Правило аддитивности: сумма моментов инерции частей системы относительно оси равен моменту инерции системы относительно данной оси:

n
I = ∑Ii или I = ∫dI .	(4.6.2)

i=1

4. ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА Лекция № 6

4.7.Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси.

4.8.Расчет моментов инерции.

4.9.Кинетическая энергия вращающегося тела.

4.10.Работа силы при вращении тела.

4.7. Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси

Рассмотрим вращательное движение твердого тела относительно не-

подвижной оси Oz. Так как твердое тело можно представить как со-
z			вокупность материальных точек, то
z			воспользуемся основным уравнени-
			воспользуемся основным уравнени-
			ем динамики вращательного дви-
О1			жения относительно точки (4.3.8).
О1	r		υi		dL	r
βi	Li					r		(4.7.1)
βi	Li					= M e .		(4.7.1)
	αi	mi			dt
	Ri	mi	Найдем		проекции			правой и
	Ri		левой части уравнения (4.7.1) на
			левой части уравнения (4.7.1) на
	rri		ось Оz:
	rri				dLz	= M ze	.	(4.7.2)
					dLz
					dt
					dt
αi			n		n	r	r
			Lz = ∑Lzi	= ∑(ri ×mi			υi )z . (4.7.3)
О			i=1		i=1
О			Вектор		Li	перпендикулярен
Рис. 4.7.1			Вектор		Li	перпендикулярен
			радиус-вектору и образует с осью и

образует с осью Оz угол βI = 90° − αI . Поэтому проекция момента импульса материальной точки равна

L	= r m υ sin α	i	= m R υ = m R ωR = m R2ω.	(4.7.4)
z i	i i i	i	i i i i i i i i

Подставим правую часть уравнения (4.7.4) в (4.7.3)

n	n
Lz = ∑mi Ri2ω= ω∑mi Ri2 .		(4.7.5)
i=1	i=1

Используя ∑mi Ri2 = Iz , получим момент импульса твердого тела от-

i=1

носительно неподвижной оси Оz

		Lz = ωIz .			(4.7.6)
Подставляя (4.7.6) в выражение (4.7.1)
	d (ωIz )	= M ze Iz	dω	= M ze	(4.7.7)
	dt	= M ze Iz	dt	= M ze	(4.7.7)
	dt		dt

и учитывая, что ddtω = ε, получим основное уравнение динамики вра-

щательного движения относительно неподвижной оси

Izε = M ze или ε =	M e	(4.7.8)
Izε = M ze или ε =	z .	(4.7.8)
	Iz

Угловое ускорение при вращении твердого тела относительно неподвижной оси прямо пропорционально результирующему моменту внешних сил относительно этой оси и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно этой же оси.

Физический смысл момента инерции можно определить из вы-

ражения (4.7.8). Если сравнить с основным уравнением динамики поступательного движения (2.1.2), то можно увидеть что роль массы при вращательном движении выполняет момент инерции. Момент инер-

ции тела является мерой инерции тела при вращательном движении.

Если проекция моментов внешних сил относительно оси Оz равна нулю (например, система замкнута) M ze = 0 , то получаем закон сохранения проекции момента импульса

dLz	= d (ωIz ) = 0	L	= I	ω = const .	(4.7.9)
dt	dt	z	z
dt	dt

Если проекцию моментов внешних сил относительно оси z равна нулю, то момент импульса тела относительно этой оси с течением времени не будет изменяться.

4.8. Расчет моментов инерции

1) Момент инерции однородного полого цилиндра.

Определим момент инерции однородного полого цилиндра, внешний радиус которого R2 , а внутренний радиус R1 , относительно оси

симметрии. Разобьем цилиндр на концентрические цилиндрические кольца толщиной dr. Все кольца находятся на одинаковом расстоянии от оси, равном r. Если плотность вещества постоянна, то элементарная масса dm = ρdV, где dV − объем бесконечно тонкого кольца радиусом r, толщиной dr и высотой h. Поскольку dV = (2πr)hdr, то dm = 2πρrhdr.

Таким образом, момент инерции

получается

посредством

интегрирова-

ния по всем кольцам:

I = ∫r2dm = ∫2 2πρhr3dr = 2πρh ∫2 r3dr =

− R4

= 2πρh

πρh(R2

− R1 ).

Поскольку (R24 −R14 )=(R22 −R12 ) (R22 +R12 ),

то момент инерции равен

Рис. 4.8.1

I =

πρh(R2

− R1 ) (R2 + R1 ).

Объем полого цилиндра V = Sh = πh(R22 − R12 ), тогда его масса

m = ρV = πρh(R22 − R12 ).

Таким образом, момент инерции полого цилиндра

I =	1 m(R22	+ R12 ).	(4.8.1)
	2

2) Момент инерции тонкостенного цилиндра (обода). Исполь-

зуя формулу (4.8.1) и учитывая, что R1 = R2 = R, получим

I = mR 2.

(4.8.2)

3) Момент инерции однородного сплошного цилиндра (диска).

Используя формулу (4.8.1) и учитывая, что в этом случае R1 = 0 и R2 = = R, то момент инерции

I =	1 mR2 .	(4.8.3)
	2

4) Момент инерции однородного шара.

Определим момент инерции однородного твердого шара ра-

диусом R, относительно оси, про-

ходящей через его центр. Разобьем

шар на бесконечно малые цилинд-

ры высотой dy. Каждый такой ци-

линдр

имеет

радиус r =

R2 − y2 .

Тогда

массу

бесконечно

малого

цилиндра можем определить как

dm = ρdV = ρSdy = πr2ρdy =

= πρ(R2 − y2)dy.

Следовательно, момент инер-

ции любого бесконечно малого ци-

Рис. 4.8.2

линдра можно записать в виде:

πρ(R

)

dI = 2 r

dm = 2

− y

dy =

= 12 πρ(R4 − 2R2 y2 + y4 )dy .

Интегрируя по всем бесконечно малым цилиндрам, получим:

		R	− 2R2 y2			+ y4 )dy =									R
	I = ∫dI = ∫ 1 πρ(R4		− 2R2 y2			+ y4 )dy =						1	πρ ∫ (R4 − 2R2 y2 + y4 )dy
		−R 2										2		−R
			1		4		2		3		3			y5		R			8		5
			1		4		2		3		3			y5		R			8		5
		I =		πρ R		y −		R		y		+						=		πρR		.
		I =		πρ R		y −		R		y		+						=		πρR		.
			2				3							5		−R			15
														5		−R
		Поскольку объем шара равен V =												4 πR3			, то его масса m = ρV =
	4												3
=	4	πρR3 . Таким образом, момент инерции шара будет равен
	3
						I =		2 mR2					.									(4.8.4)
								5

5) Момент инерции однородного стержня. Момент инерции стержня длиной l относительно оси проходящей через середину стержня перпендикулярно его длине:

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 174 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Ко 2 сессии

#
26.03.20152.16 Mб114Malashonok_Teoreticheskie_osnovy_khimii.pdf
#
26.03.20156.26 Mб252Бобрович_Механика.pdf
#
26.03.20152.1 Mб140Грода_Прикладная механика.pdf
#
26.03.20152.67 Mб212Малашонок Неорганическая химия.pdf