Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ко 2 сессии / Бобрович_Механика

.pdf

Скачиваний:

252

Добавлен:

26.03.2015

Размер:

6.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 176 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

K = mυ2	=	1 mω2 A2 sin2	(ωt + ϕ0 )=	1 kA2 sin2	(ωt + ϕ0 ). (5.4.2)
2		2		2

Таким образом, полная энергия гармонического колебания, состоящая из суммы кинетической и потенциальной энергий, определяется следующим образом

	E = K +	П =	1 kA2 sin2 (ωt + ϕ0 )+
			2			.	(5.4.3)
+	1 kA2 cos2	(ωt + ϕ0 )=		1 kA2	=	1 mω2 A2
	2			2		2

Следовательно, полная энергия гармонического колебания

	kx2	mυ2		1 2	2	= const .	(5.4.4)
E =	2 +	2	=	2 mω A		= const .	(5.4.4)

оказывается постоянной в случае гармонических колебаний.

Найдем среднее значение потенциальной энергии за период колебания

П =	1	kA	2	cos	2	ϕ =		1	kA	2	1	2π			2			=
	2							2				∫ cos				ϕdϕ
											2π 0							.	(5.4.5)
	1			1	2π 1		+ cos 2ϕ							1
=		kA	2										=			kA	2
	2			2π	∫			2			dϕ			4
					0

Аналогично получается для среднего значение кинетической энергии

K =	1 kA2	sin2 ϕ =	1 kA2 .	(5.4.6)
	2		4

Таким образом, и потенциальная, и кинетическая энергии изменяются относительно своих средних значений по гармоническому за-

кону с частотой 2ω и амплитудой 14 kA2 .

5.5. Пружинный, математический и физический маятники

m		Рассмотрим несколько простейших
m		систем, совершающих свободные гармони-
Frупр		ческие колебания.
r		1) Пружинный маятник − это матери-
r		альная точка массой m, подвешенная (или
υ	Frупр	альная точка массой m, подвешенная (или
	Frупр	50
		50

0	x
	Рис. 5.5.1

Рис. 5.5.2

расположенная горизонтально) на абсолютно упругой пружине жесткостью k и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы. Пусть шайба массой m, прикрепленная к пружине, совершает колебания. Для составления дифференциального уравнения колебаний запишем второй закон Ньютона в проекции на ось Oх Fупр =ma. Упругая сила Fупр = −kx. Приравнивая последние два уравнения и, используя определение ускорения тела, получим

ma = −kx	или		m	d	2 x	= −kx .	(5.5.1)
ma = −kx	или		m	dt2		= −kx .	(5.5.1)
				dt2
Отсюда
d 2 x	+	k	x =0 .				(5.5.2)
dt2	+	m	x =0 .				(5.5.2)
dt2		m

Сравнивая уравнения (5.3.7) и (5.5.2) получаем, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с частотой

ω2	=	k	ω =	k	.	(5.5.3)

0		m	0	m

Так как период колебаний определяется по формуле T = 2π , то период

ω0

колебаний пружинного маятника

	T = 2π m .	(5.5.4)
	k
	2) Математический маятник − это идеализированная система,
	состоящая из невесомой и нерастяжимой	r
	нити, на которой подвешена материальная	M
	нити, на которой подвешена материальная	O
	точка массой m. Отклонение маятника от	O
	положения равновесия будем характеризо-	ω
	вать углом ϕ, образованным нитью с верти-	ω
	калью.	ϕ
	калью.
	При отклонении маятника от положе-	l
	ния равновесия возникает вращательный
	r
	момент M , равный по величине mglsinϕ.
	Он имеет такое же направление, что стре-	l sin ϕ
	мится вернуть маятник в положение равно-	l sin ϕ
	мится вернуть маятник в положение равно-
	51	mgr
	51

весия.	Следовательно,		выражение	M	для
вращательного	момента	имеет	вид:	M	=

= −mglsinϕ. Применим основное уравнение динамики вращательного движения

M = Iε,

(5.5.5)

где I = ml2 − момент инерции материальной точки. Тогда, учитывая,

что угловое ускорение ε = d 2ϕ2 , получим dt

ml2 d 2ϕ	= −mgl sin ϕ				d 2ϕ		+	g	sin ϕ = 0 .	(5.5.6)
					dt2
dt2								l
Если рассматривать малые колебания, то sin ϕ ≈ ϕ. Получим
d 2ϕ	+	g	ϕ = 0	d 2ϕ			2
						+ω ϕ = 0 .				(5.5.7)

dt2		l		dt2			0

То есть при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется по гармоническому закону с частотой

ω2	=	g	ω =		g	.	(5.5.8)

0		l	0		l

Период колебаний математического маятника
		T = 2π	l	.			(5.5.9)

			g

3) Физический маятник − это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси, прохо-

r		дящей через точку, не совпадающую с цен-
N		тром масс тела. При отклонении маятника
h		тром масс тела. При отклонении маятника
h		от положения равновесия на угол ϕ возни-
O		от положения равновесия на угол ϕ возни-
α l		кает вращательный момент, стремящийся
α l		вернуть маятник в положение равновесия.
	C	Этот момент равен M = −mglsinϕ.
r	C	Согласно основному уравнению ди-
r	O′	намики вращательного движения получаем
F	O′	намики вращательного движения получаем
F	r
	p

Рис. 5.5.3	52

Iε = M	I	d 2ϕ		= −mgl sin ϕ, (5.5.10)
		dt	2

где I − момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса.

Если рассматривать малые колебания, то sin ϕ ≈ ϕ. Получим

d 2ϕ	+	mgl	ϕ = 0	d 2ϕ 2		(5.5.11)
					+ω ϕ = 0 .
dt2		I		dt2	0

ω2

= mgl ω = mgl .

(5.5.12)

Период колебаний математического маятника

T = 2π

(5.5.13)

mgl

Из сопоставления формул периодов колебаний математического

и физического маятников T = 2π

и T = 2π

получается, что

mgl

математический маятник с длиной

(5.5.14)

пр

будет иметь такой же период колебаний, что и данный физический маятник.

Величина lпр (отрезок OO′) называется приведенной длиной физического маятника − это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника. Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс, и лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания (О′) физического маятника. Точка подвеса О и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания.

5. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Лекция № 8

5.6.Затухающие гармонические колебания.

5.7.Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания.

5.8.Вынужденные колебания.

5.9.Резонанс.

5.6. Затухающие гармонические колебания

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, то колебания будут затухать. Затухающие колебания − это колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается. В простейшем, и вместе с тем наиболее часто встречающемся случае, сила сопротивления, вызывающая затухание, зависит от скорости колебательного движения, т. е. ее можно считать прямо пропорциональной скорости

r	(5.6.1)
Fc = −μυ,

где μ − постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак «минус» обусловлен тем, что сила и скорость имеют про-

тивоположные направления. Тогда второй закон Ньютона для гармонических колебаний при наличии сил сопротивления имеет вид

ma = −kx − rυ.

(5.6.2)

Учитывая, что a =

d 2 x

, а υ =

, и разделив на массу m, получим

d 2 x

r dx

= 0 .

(5.6.3)

dt2

m dt

Применив обозначения

= ω2

= 2β получим

d 2 x

+ 2β

= 0 −

(5.6.4)

+ ω x

dt2

дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Отметим, что

ω0 представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свобод-

ные колебания системы в отсутствие сопротивления среды. Эта часто-

та называется собственной частотой.

Для решения уравнения (5.6.4) сделаем подстановку

x = z e−βt .

(5.6.5).

Проведем замену переменных

= −βz e−βt + dz e−βt

d 2 x

−βz e

−βt

z e

−βt

− 2β

−βt

d 2 z

−βt

. (5.6.6)

=β

Подставим (5.6.5 и 5.6.6) в выражение (5.6.4)

−βt

−2β

−βt

d2z

−βt

=0. (5.6.7)

β z

2 e

+2β −βz e

+ω0z e

Преобразуем, сократив на e−βt

−2β

d2 z

−βz +

d2 z

−β

= 0 . (5.6.8)

β z

2 +

2β

+ω0 z = 0

+(ω0

Рассмотрим случай, когда сопротивление среды настолько мало,

что ω2

−β2 > 0

есть величина по-

x = A0e−βt cos(ωt +ϕ)

ложительная, и мы можем ввести A0

обозначение ω2 −β2

= ω2 , после че-

A(t) = A e−βt

гоуравнение(5.6.8) принимаетвид

d 2 z

+ ω2 z = 0 .

(5.6.9)

В случае большого сопро-

тивления

среды

ω2 −β2 < 0 ,

дви-

жение

становится

непериодиче-

Рис. 5.6.1

ским.

Решение уравнения (5.6.8) можно записать в виде

z = A0 cos(ω t + ϕ).

(5.6.10)

Окончательно, подставляя последнее уравнение в выражение (5.6.5), получаем общее решение дифференциального уравнения зату-

хающих колебаний (5.6.4)

x = A e−βt cos(ωt + ϕ)

или

x = A(t )cos(ωt + ϕ).

(5.6.11)

В соответствии с видом полученной функции движение можно

рассматривать как гармоническое колебание с частотой

μ 2

(5.6.12)

ω=

ω0

−β

ω0

−

периодом

T = 2π

2π

(5.6.13)

ω02 −β2

ω0

−

и амплитудой, изменяющейся по закону

A(t )

= A e−βt .

(5.6.14)

На рисунке показан график данной функции. Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки. Верхняя из пунктирных кривых дает график функции A(t), причем величина A0 представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение зависит от A0 и также от начальной фазы ϕ, т. е. x0 = A0 cos ϕ.

5.7. Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания

Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно

=	A(t )	= eβT	(5.7.1)
	A(t +T )

и называется декрементом затухания.

Для характеристики колебательной системы обычно использу-

ется логарифмический декремент затухания, т. е. логарифм декре-

мента затухания

δ = ln = ln	A(t )	=βT .	(5.7.2)
	A(t +T )

Скорость затухания колебаний определяется величиной называ-

ем коэффициентом затухания β =					μ	.
ем коэффициентом затухания β =						.
					2m
Найдем время, называемое временем релаксации τ, за которое
амплитуда уменьшается в e раз
	A(t )	= e	A0e−βt	= eβτ = e1 βτ =1 τ =			1 .	(5.7.3)
	A(t + τ)	= e	A0e−β(t+τ)	= eβτ = e1 βτ =1 τ =			1 .	(5.7.3)
	A(t + τ)		A0e−β(t+τ)				β
Следовательно,
			β= 1 ,					(5.7.4)
					τ

т. е. коэффициент затухания обратен по величине промежутку времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

За время релаксации τ система успевает совершить Ne = Tτ ко-

лебаний

	Ne =		τ	=	τβ	=	1 .	(5.7.5)
			T		δ
							δ
Следовательно, δ =	1	логарифмический декремент затухания

	Ne

обратно пропорционален по величине числу колебаний, за которые амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Для характеристики колебательной системы используется величина

Q =	π	= πNe ,	(5.7.6)
	δ

которая называется добротностью колебательной системы.

Величина Q, пропорциональная числу колебаний, совершаемых системой за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

5.8. Вынужденные колебания

До сих пор мы рассматривали свободные колебания, когда выведенная из положения равновесия система совершает колебания будучи предоставленной самой себе. Рассмотрим колебательную систе-

му, которая подвергается действию внешней силы, изменяющейся по гармоническому закону F = F0 cos ωt . Колебания, возникающие под

действием внешней периодически изменяющейся силы, называются вынужденными колебаниями. В этом случае уравнение второго закона Ньютона имеет вид

ma = −kx −μυ+ F0 cos ωt .

(5.8.1)

Учитывая, что a =

d 2 x

, а υ =

и разделив на массу m, получим

2 x

μ dx

dt2

x =

cosωt .

(5.8.2)

m dt

Применив обозначения mk = ω02 , mμ = 2β и Fm0 = f0

d 2 x	+ 2β	dx	2		cosωt	−
	+ 2β		+ ω x = f	0	cosωt	−
dt2		dt	0	0
dt2		dt

дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

Будем искать решение уравнения (5.8.3) в виде x = Acos(ωt + ϕ)

получим

(5.8.3)

(5.8.4)

предполагая, что результирующее колебание будет совершаться с частотой внешней вынуждающей силы.

dx	= −Aωsin (ωt + ϕ);	d 2 x	2
dt	= −Aωsin (ωt + ϕ);	dt2	= −Aω cos(ωt + ϕ).	(5.8.5)

Подставим (5.8.4) и (5.8.5) в уравнение (5.8.3)

−Aω2 cos(ωt +ϕ)−2βAωsin(ωt +ϕ)+ω02 Acos(ωt +ϕ)= f0 cosωt . (5.8.6)

(Aω02 − Aω2 )cos(ωt + ϕ)− 2βAωsin (ωt + ϕ)= f0 cosωt .

cos(ωt + ϕ)= cos ωt cos ϕ−sin ωt sin ϕ; . sin (ωt + ϕ)= cosωt sin ϕ+ sin ωt cos ϕ

(Aω02 − Aω2 )(cos ωt cos ϕ−sin ωt sin ϕ)− −2βAω(cosωt sin ϕ+sin ωt cos ϕ)= f0 cos ωt

(5.8.7)

(5.8.8)

(5.8.9)

Чтобы уравнение (69) обратилось в тождество необходимо, чтобы коэффициенты при cos ωt и sin ωt были равны нулю.

(Aω02 − Aω2 )cos ϕ− 2βAωsin ϕ = f0													и
−(Aω02 − Aω2 )sin ϕ− 2βAωcos ϕ = 0													(5.8.10)
−(Aω02 − Aω2 )sin ϕ− 2βAωcos ϕ = 0
Из выражения (71) получаем
				tgϕ = −					2βω	.			(5.8.11)
				tgϕ = −					2 2	.			(5.8.11)
									ω −ω
									0
Возведем в квадрат уравнения (70) и сложим
(Aω02 − Aω2 )2 +(2βAω)2 = f02 .													(5.8.12)
2			2	2		)	2		2 2		2
A	(	ω0		−ω		)		+ 4β ω			= f0

	A		2	=					f02
	A			=	(ω02 −ω2 )2 + 4β2ω2
A =									f0			.	(5.8.13)
A =						(ω02 −ω2 )2 + 4β2ω2						.	(5.8.13)

Подставив полученные выражения (71) и (73) в выражение (64) получим уравнение вынужденных колебаний

x =	f0		ωt −arctg	2βω	. (5.8.14)
		cos
	(ω02 − ω2 )2 + 4β2ω2			ω02 − ω2

5.9. Резонанс

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы называется резонансом, а соответствующая частота − резонансной частотой.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 176 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Ко 2 сессии

#
26.03.20152.16 Mб114Malashonok_Teoreticheskie_osnovy_khimii.pdf
#
26.03.20156.26 Mб252Бобрович_Механика.pdf
#
26.03.20152.1 Mб140Грода_Прикладная механика.pdf
#
26.03.20152.67 Mб212Малашонок Неорганическая химия.pdf