Ко 2 сессии / Бобрович_Механика

5) aτ = const, an ≠ const − равнопеременное движение по окружно-

сти.

6)aτ = 0, an ≠ 0 − равномерное криволинейное движение.

7)aτ = const, an ≠ 0 − криволинейное равнопеременное движение.

1.6. Кинематика абсолютно твердого тела

Вращательное движение − это движение, при котором все

точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. При вращательном движении скорости и ускорения различных точек тела неодинаковы. Поэтому в качестве общих кинематических характеристик движения тела при вращении вводятся угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение тела. При вращении тела угол поворота изменяется со временем по некоторому закону ϕ = ϕ(t), который называется

уравнением вращательного движения тела.

Угловой скоростью тела называется вектор, численно равный первой производной по времени от угла поворота тела по времени и направленный вдоль оси вращения по правилу правого винта:

Вектор угловой скорости направлен по оси вращения, причем так, чтобы вращение, рассматриваемое с конца вектора угловой скорости, происходило против хода часовой стрелки (рис 1.6.1).

10

характеризуется периодом вращения и частотой вращения.

Период вращения − это время, за которое точка совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол ϕ = 2π и на основании

выражения (1.6.1) T = 2ωπ .

Частота вращения − это число полных оборотов, которое делает точка при равномерном вращении, за единицу времени:

n = T1 = 2ωπ , откуда ω = 2πn.

Для характеристики неравномерного вращения тела вводится понятие углового ускорения.

Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

При ускоренном вращении вектор углового ускорения сонаправлен с вектором угловой скорости, а при замедленном − противоположен ему.

Вслучае равнопеременного движения точки по окружности (ε =

=const) угловая скорость определяется по формуле

Рис. 1.6.2

Или в скалярном виде

11

Проинтегрировав выражение (1.6.1) можно получить формулу для угла поворота тела

где ϕ = 2πN, N − число полное число оборотов, совершенных телом. В случае ε = ε(t), угловая скорость и закон вращательного дви-

жения определяются следующими формулами

1.7. Связь между линейными и угловыми характеристиками тела при его вращении

За время dt точка проходит по дуге окружности радиуса R путь

dS = Rdϕ. Поэтому υ = dSdt = R ddtϕ = ωR . Если угол поворота вращающегося тела представить в виде dϕ = ω(t)dt и проинтегрировать в пределах от начального момента времени t1 до конечного момента времени t2, то получится угол, на который совершила поворот тело за

t2

время: ϕ = ∫ω(t)dt .

t1

Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения произвольной точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяются формулами:

Полученные соотношения (1.7.1) можно записать в векторном виде. Для этого на оси вращения ОО* (рис. 1.6.1) тела выберем любую точку A и проведем из нее радиус-вектор r в точку M. Векторное

12

произведение ω×rr по модулю и направлению совпадает с вектором скорости υr точки M:

13

2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Лекция № 3

2.1.Основное уравнение динамики поступательного движения.

2.2.Преобразования Галилея. Механический принцип относительности.

2.3.Система материальных точек. Закон сохранения импульса.

2.4.Центр масс. Уравнение движения центра масс.

2.1. Основное уравнение динамики поступательного движения

Динамика − раздел механики, в котором изучается движение тел под действием приложенных сил. Основной задачей динамики является определение кинематического уравнения движения материальной точки, если известны, приложенные силы к ней со стороны окружающих тел и начальные условия, положение и скорость тела в начальный момент времени.

В основе динамики лежат три закона И. Ньютона, которые являются результатом обобщения опытных данных и теоретических сведений в области механики. Для формулировки законов динамики необходимо дать определение следующих динамических характеристик: инертность, масса, импульс тела и сила.

Инертностью (или инерцией) называется свойство тела сохранить неизменным состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Количественной мерой инертности тел является инертная масса, а количественной мерой гравитационного взаимодействия является гравитационной массы. К настоящему времени экспериментально показано, что инертная и гравитационная массы с большой степенью точности совпадают, т. е. они эквивалентны. Этот фундаментальный закон природы называется принципом эквивалентности.

Масса − это физическая величина, являющаяся мерой инерционных и гравитационных свойств тела. Единицей массы в СИ является килограмм: [m] = кг. Масса − величина аддитивная, т. е. масса тела равна сумме масс всех частей этого тела.

Импульс тела (или количество движения) − это векторная фи-

зическая величина, равная произведению массы тела на его скорость

14

Сила − это векторная физическая величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате, которого тело деформируется или приобретает ускоре-

ние. Единица измерения силы в СИ − Ньютон [F ]= кг× см2 =H . Сила,

приложенная к телу, считается заданной, если указаны ее точка приложения, направление действия и численное значение.

Первый закон Ньютона (или закон инерции), который формули-

руется следующим образом: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока действие со стороны других тел не выведут его из этого состояния. Система отсчета, в которой выполняется первый закон Ньютона, называется инерциальной. Рассмотрим две системы отсчета, двигающиеся друг относительно друга с некоторым ускорением. Если относительно одной из них тело покоится, то относительно другой оно будет двигаться с ускорением. Получается, что в одной системе отсчета первый закон Ньютона выполняется, а в другой не выполняется. Любая система отсчета, движущаяся относительно некоторой инерциальной системы прямолинейно и равномерно будет также инерциальной. Системы отсчета, по отношению к которым первый закон Ньютона не выполняется, называются неинерциальными системами отсчета.

Второй закон Ньютона: ускорение тела прямо пропорционально результирующей сил приложенных к нему и обратно пропорционально его массе.

Скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Уравнения (2.1.2) и (2.1.3) являются математическим выражением второго закона Ньютона. Второй закон Ньютона позволяет решать основную задачу механики. Поэтому его называется ос-

новным уравнением динамики поступательного движения.

Третий закон Ньютона: сила, с которой одно тело действует на другое, равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой второе тело действует на первое.

15

то, как следует из рис. 2.2.1 в момент времени t координаты точки М в этих системах будут связаны соотношениями

Формулы (2.2.1) называются преобразованиями Галилея для координат и времени. Они могут быть представлены также в виде обратного преобразования:

Из преобразований Галилея вытекает классический закон сложения скоростей. Продифференцировав соотношения (2.2.2) по времени, найдем связь между скоростями точки М по отношению к системам отсчета К и К'

Согласно векторному соотношению (2.2.3) скорость υ точки М относительно неподвижной системы координат (абсолютная) равна векторной сумме ее скорости υ' относительно подвижной системы (относительная) и скорости υ0 подвижной системы относительно неподвижной (переносная).

Продифференцировав выражение (2.2.3) по времени t, получим

16

при условии, что υ0 = const

Отсюда следует, что ускорение какого-либо тела во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно, оказывается одним и тем же. Поэтому, если одна из этих систем инерциальна, то и остальные будут инерциальными.

Так как масса в классической механике не зависит от скорости, то произведение массы тела на его ускорение во всех инерциальных системах будет одинаковым, т. е. вид второго закона Ньютона, описывающего движение тела, будет одинаковым во всех инерциальных системах отсчета. Неизменность выражения для закона Ньютона отражает тот факт, что все механические явления во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково при одинаковых условиях. Другими словами − все инерциальные системы отсчета эквивалентны между собой. Это утверждение носит название принципа относитель-

ности Галилея (или механический принцип относительности). Он оз-

начает, что никакими опытами внутри инерциальной системы отсчета невозможно установить покоится эта система или движется равномерно и прямолинейно. Принцип относительности справедлив не только для механических, но и для любых физических явлений.

Используя преобразования Галилея, можно показать, что отрезки длин (масштабы) и интервалы времени между двумя какими-либо событиями одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

Понятие времени в классической механике является абсолютным, поэтому

Физические величины, не изменяющиеся при переходе от одной инерциальной системе к другой, называются инвариантными. Следовательно, отрезки длин и интервалы времени являются инвариантами классической механики.

2.3. Система материальных точек. Закон сохранения импульса

Механической системой называется совокупность материальных точек, рассматриваемых как единое целое. Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называются

17

внутренними. Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними. Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой механической системой.

Импульс механической системы, представляет собой сумму импульсов всех материальных точек, входящих в механическую систему.

i=1

Рассмотрим систему материальных точек массами m1 , m2 , …, mn , движущихся со скоростями υ1 , υ2 , …, υn . Пусть на каждую из этих

точек действуют равнодействующие внутренних сил F1i , Fr2i , …, Frni , и равнодействующие внешних сил F1e , F2e , …, Fne .

Используя второй закон Ньютона для системы точек, запишем

Согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между материальными точками механической системы, будут равны и противоположно направлены, т. е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.

С учетом выражения (2.3.1) получим закон изменения импульса механической системы: производная по времени от импульса механической системы равна векторной сумме внешних сил, действующих на систему.

18

В случае замкнутой механической системы,

Выражение (2.3.6) выражает закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы не изменяется с течением времени.

Закон сохранения импульса носит универсальный характер и выполняется также в релятивистской и квантовой механике. Закон сохранения импульса − это фундаментальный закон природы. Он является следствием определенного свойства симметрии пространства − его однородности. Под однородностью пространства понимают одинаковость свойств пространства во всех его точках.

2.4.Центр масс. Уравнение движения центра масс

Вклассической механике масса тела не зависит от его скорости движения, и импульс системы может быть выражен через скорость ее центра масс.

Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек называется воображаемая точка С, положение которой характеризует распределение массы этой системы, и радиус-вектор которой определяется выражением:

В случае непрерывного распределения массы в системе (например, в случае протяженного тела) радиус-вектор центра масс системы определяется выражением

19