Корреляционная таблица

Y X	y1	y2	…	yi	ni
x1	m11	m12	…	m1l	n1
x2	m21	m22	…	m2l	n2
xk	mk1	mk2	…	mkl	nk
mj	m1	m2	…	ml	n

В случае, когда случайные величины являются непрерывными (т.е. могут принимать любое значение из соответствующих интервалов), составляется интервальная корреляционная таблица.

Условным среднимназывают среднее арифметическое значенийY, соответствующих значениюX=x. Например,

.

Корреляционной зависимостьюYотXназывают зависимость:

(8)

Уравнение (8) называют эмпирическим уравнением регрессииYнаX; функцию f(x)называютэмпирическойрегрессиейYнаX, а ее график - линией регрессииYна X.

Аналогично определяются условная средняя и корреляционная зависимостьXотY:

(9)

Распределение системы (X,Y)характеризуется числовыми параметрами: математическими ожиданиями компонентm_x, m_y; дисперсиями,; корреляционным моментом (ковариацией); коэффициентом корреляции,.

Здесь и дальше, будем считать, что двумерная случайная величина (X,Y) распределена нормально, тогда уравнения линейной регрессии YнаXи X наYимеют вид:

и

По корреляционной таблице 6, найдем оценки параметров линейной регрессии:

;; (10)

; (11)

; (12)

; (13)

- выборочный коэффициент корреляции .

Выборочный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи междуи. Если, то элементы выборки,лежат на прямой линии, аисчитаются практически линейно зависимы. Чем ближек 1, тем связь сильнее; чем ближек 0, тем связь слабее. ЕслиXиYнезависимы, то.

Эмпирическая функция линейной регрессии YнаXиXнаYсоответственно задаётся уравнениями

;.

Замечание 1.Если построить на одном корреляционном поле две линии регрессииYнаXиXнаY, то они пересекутся в точкеO, и угол между этими прямыми тем меньше, чем ближе коэффициент корреляции к.

Замечание 2.В случае, когда данные наблюденийXиYзаписаны в виде интервальной корреляционной таблицы в формулах (10) – (13) вместоx_iиy_iобычно берут середины, соответствующих интервалов.

Для проверки соответствия линейной регрессии результатам наблюдений вычисляется наблюдаемое значение критерия

и по таблице критических точек распределения Стьюдента (таблица 7) по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k=n–2 , находится. Затем сравнивается наблюдаемое значение критерия с табличным.

Таблица 7

t-Распределение Стьюдента.

Число степеней свободы, υ	Уровень значимости,α		Число степеней свободы, υ	Уровень значимости,α
	0,1	0,05		0,1	0,05
1	6,31	12,7	17	1,74	2,11
2	2,92	4,3	18	1,73	2,10
3	2,35	3,18	19	1,73	2,09
4	2,13	2,78	20	1,73	2,09
5	2,01	2,57	21	1,72	2,06
6	1,94	2,45	22	1,72	2,07
7	1,89	2,36	23	1,71	2,07
8	1,86	2,31	24	1,71	2,06
9	1,83	2,26	25	1,71	2,06
10	1,81	2,23	26	1,71	2,06
11	1,80	2,2	27	1,71	2,05
12	1,78	2,18	28	1,70	2,05
13	1,77	2,16	29	1,70	2,05
14	1,76	2,14	30	1,70	2,04
15	1,75	2,13	40	1,68	2,02
16	1,75	2,12	60	1,67	2,00
			120	1,66	1,98

Если , то гипотеза о некоррелированности составляющихXиYотвергается. Если же, то нет основания отвергать гипотезу о некоррелированности случайных величинXиY.