дифуравнения / дифуравнения-1 / тема7

Тема: Лінійні неоднорідні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами зі спеціальною правою частиною

Теоретичні відомості

Означення. Рівняння

, (1)

де неперервні функції, визначені в інтервалі , і називається лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням го порядку.

Теорема. Якщо частинне рішення лінійного неоднорідного рівняння го порядку (1), а загальне рішення відповідного лінійного однорідного рівняння, то загальним рішенням неоднорідного рівняння (1) є функція

. (2)

Розглянемо лінійне неоднорідне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

, (3)

де дійсні константи.

Враховуючи (2) , загальне рішення неоднорідного рівняння (1) має вигляд

, (4)

де фундаментальна система рішень відповідного однорідного рівняння.

Оскільки методи знаходження загального рішення однорідного рівняння вже відомі, то залишається з’ясувати, як знайти частинне рішення неоднорідного рівняння (1).

Якщо права частина рівняння (3) має вигляд

, (5)

де многочлени з дійсними коефіцієнтами степеню і відповідно, то мова йде про розв’язання лінійного неоднорідного рівняння зі спеціальною правою частиною. В цьому випадку частинне рішення слід шукати у вигляді

, (6)

де многочлени з дійсними коефіцієнтами степеню , кратність кореню характеристичного рівняння.

Для знаходження коефіцієнтів многочленів застосуємо метод невизначених коефіцієнтів, який полягає в наступному:

1. Знайдемо і підставимо в рівняння (3).

2. Порівняємо коефіцієнти при відповідних членах в лівій і правій частинах отриманої рівності і знайдемо невідомі коефіцієнти.

3. Запишемо загальне рішення у вигляді (4).

Наведемо особливі випадки знаходження .

1. Якщо , де многочлен степеню (при цьому , тобто корінь ), то

, (5)

де кратність кореню (,).

2. Якщо (при цьому корінь ), то

, (6)

де кратність кореню (,,).

3. Якщо (при цьому корінь ), то

, (7)

де кратність кореню (,).

4. Якщо , де один з розглянутих вище випадків, то .

Практичні завдання

Завдання 1. Знайти загальне і частинне рішення рівняння з невизначеними коефіцієнтами:

1.1 .

1.2. .

1.3. .

1.4. .

1.5. .

Завдання 2. Знайти загальне рішення лінійного неоднорідного рівняння методом невизначених коефіцієнтів

2.1. .

2.2. .

2.3. .

2.4. .

2.5. .

2.6. .

2.7. .

Завдання 3. Знайти частинне рішення лінійного неоднорідного рівняння:

3.1. , якщо .

3.2. , якщо .

3.3. , якщо .

3.4. , якщо .

3.5. , якщо .