дифуравнения / дифуравнения-1 / тема3

Тема: Лінійні рівняння першого порядку.

Теоретичні відомості.

Означення. Диференціальне рівняння називається лінійним, якщо воно є рівнянням першого степеню відносно невідомої функції та її похідної і може бути записаним у вигляді

, (1.7)

де деякі функції.

Якщо в правій частині рівняння (1.7) функція , то рівняння називається лінійним однорідним і розв’язується як рівняння з подільними змінними.

Розглянемо випадок, коли . Тоді лінійне рівняння (1.7) зводиться к двом рівнянням з подільними змінними за допомогою підстановки Бернуллі , де допоміжні функції змінної . Знайдемо і підставимо і в рівняння (1): ,

. (1.8)

Оскільки функції і обираються довільно, аби їх добуток задовольняв би рівнянню (1), то функцію оберемо так, щоб в рівнянні (1.8)

. (1.9)

Рівняння (1.9) є рівнянням з подільними змінними, з якого знаходимо :

; ; ;

. (1.10)

Довільну константу в цьому випадку вважаємо дорівнюючою нулю. Підставимо рівняння (1.9) в рівняння (1.8):

. (1.11)

З рівняння (1.11) дістанемо: , або

. (1.12)

Замінюючи в формулі (1.12) функцію її виразом (1.10), отримаємо

. (1.13)

Помножимо на і отримаємо загальний інтеграл рівняння

. (1.14)

При розв’язанні лінійних рівнянь значно простіше запам’ятати і використовувати формули (1.10) і (1.12), ніж формулу (1.14).

Практичні завдання.

Завдання 1. Знайти загальне рішення диференціального рівняння:

1.1. .

1.2. .

1.3. .

1.4. .

1.5. .

1.6. .

1.7. .

1.8. .

Завдання 2. Розв’язати задачу Коші:

2.9. , якщо .

2.10. , якщо .

2.11. , якщо .

2.12. , якщо .

2.13. , якщо .

Домашнє завдання: теоретичні відомості

Про інтегрувати рівняння

1) .

2)

Знайти частинний інтеграл рівняння , якщо .