
дифуравнения / дифуравнения-1 / тема5
.docТема: Диференціальні рівняння вищих порядків. Рівняння, що допускають зниження порядку
Теоретичні відомості
Означення 1. Звичайним
диференціальним рівнянням
го
порядку називається
рівняння, яке пов’язує невідому функцію
,
незалежну змінну
і похідні функції
по
до
го
порядку включно:
. (2.1)
Обмежимося розгляданням
рівнянь
го
порядку, які можуть бути розрішеними
відносно старшої похідної
. (2.2)
Означення 2.
Функція
називається
загальним рішенням
диференціального рівняння (2.1), якщо
вона задовольняє рівнянню за будь –
яких значень довільних констант
.
Якщо невідома функція
аргументу
задана неявно рівністю
,
то така функція називається загальним
інтегралом диференціального
рівняння.
Означення 3. Частинним
рішенням (частинним інтегралом)
диференціального рівняння називається
рішення
,
яке може бути отримане із загального
при певних значеннях довільних констант
.
Для знаходження частинного
рішення диференціального рівняння
необхідно знайти числові значення
довільних констант
.
Для цього необхідно розв’язати задачу
Коші.
Для рівняння (2.1) задача Коші
ставиться таким чином: серед рішень
рівняння треба знайти частинне рішення
,
яке задовольняє початковим
умовам
Детальніше зупинимиося на диференціальному рівнянні другого порядку
. (2.3)
Функція
є
загальним рішенням рівняння (2.3) за
умови, що вона задовольняє рівнянню при
будь яких значеннях довільних констант
.
Задача Коші для рівняння
(2.3) полягає у знаходженні рішення
,
яке задовольняє початковим умовам
Розглянемо окремі види рівнянь вищих порядків.
-
Диференціальні рівняння виду
Простішим диференціальним
рівнянням
го
порядку є рівняння, яке містить незалежну
змінну (в окремому випадку постійну
величину) і похідну
го
порядку:
, (2.4)
де
диференційована
в інтервалі
функція.
Загальне рішення рівняння
(2.4) знаходиться шляхом
кратного
інтегрування частин рівняння. Зокрема
рішення рівняння другого порядку
(2.5)
знайдемо наступним способом:
,
тоді
. (2.6)
-
Рівняння другого порядку, які не містять невідомої функції
Рівняння виду
(2.7)
за допомогою підстановки
,
де
нова
невідома функція, зводиться до рівняння
першого порядку
,
тобто в цьому випадку
.
-
Рівняння другого порядку, які не містять незалежної змінної
Рівняння виду
(2.8)
за допомогою підстановки
,
де
нова
невідома функція, зводиться до рівняння
першого порядку
,
тобто в цьому випадку
.
Практичні завдання
Завдання 1. Розв’язати рівняння
1.1
.
1.2.
1.3.
.
1.4.
,
якщо
.
1.5.
,
якщо
.
Завдання 2. Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння:
2.1.
.
2.2.
.
2.3.
.
2.4.
.
2.5.
.
2.6.
.
Завдання 3. Розв’язати задачу Коші:
3.1.
,
якщо
.
3.2.
,
якщо
..
3.3.
,
якщо
.
3.4.
,
якщо
.
3.5.
,
якщо
.