Остальные (alldone)

ЦТ 2005 B3.Знаменатель несократимой дроби на 3 больше, чем числитель. Если дробь умножить на, а затем у новой дроби числитель уменьшить на 2 и знаменатель уменьшить на 19, то получим дробь, обратную исходной. Найдите произведение числителя и знаменателя исходной дроби.

Решение

Пусть — исходная дробь, тогда— дробь, умноженная на,— дробь с уменьшенным числителем и уменьшенным знаменателем. Получаем уравнение

корни которогои. Первый корень посторонний, так как при данном значении, дробь сократима. При втором корне, получаем несократимую дробь.

Ответ: 40.

РТ 2 2006 В3.Число 58 разделили на некоторое натуральное число и получили, что неполное частное на 6 меньше остатка, а делитель на 2 больше остатка. Найдите остаток.

Решение

Пусть — делитель,— неполное частное,— остаток, тогда,,, тогдаили.,. Второй корень посторонний, поскольку остаток всегда неотрицателен.

Ответ: 10.

РТ 3 2009 В11.Знаменатель несократимой дроби на 1 меньше, чем удвоенный числитель. Если к дроби прибавить, а затем у новой дроби числитель увеличить на 2, то получим дробь, обратную исходной. Найдите произведение числителя и знаменателя исходной дроби.

Решение

Фраза	Модель
Числитель первоначальной дроби
Знаменатель дроби на 1 меньше, чем удвоенный числитель.
Дробь
Если к дроби прибавить ,
а затем у новой дроби числитель увеличить на 2,
то получим дробь, обратную исходной.
Найдите произведение числителя и знаменателя исходной дроби.

Убеждаемся, что при дробь несократима.

Ответ: 45.

ЦТ 2009 В9.Задумано целое положительное число. К его записи приписали справа цифру 6 и из полученного числа вычли квадрат задуманного. Разность уменьшили на 80% и еще вычли задуманное число. В окончательном результате получили 0. Какое число задумано?

Решение

Фраза	Модель
Задумано целое положительное число.
К его записи приписали справа цифру 6
и из полученного числа вычли квадрат задуманного.
Разность уменьшили на 80% (осталось 20%)
и еще вычли задуманное число.
В окончательном результате получили 0.
Какое число задумано?

Ответ: 6.

ЦТ 2010 В8.Банка, имеющая форму правильной четырехугольной призмы, частично заполненная водой. Сторона основания банки равна. В эту банку опустили кубик, ребро которого равно, при этом кубик лег на дно банки, а поверхность воды поднялась на столько, что стала касательной к верхней грани кубика. Если вместо этого кубика опустить кубик, ребро которого равно, то произойдет, то же самое. Найдите.

Решение

Пусть — объем воды находившейся в сосуде. Когда в сосуд опустили кубик с ребром, объем содержимого, с одной стороны, стал равен, с другой стороны, объем равен. Т.е. получили уравнение. Когда опустили кубик во второй раз, получаем еще одно уравнение. Вычитая из первого уравнения второе, получаем

Ответ: 10.

Сканави 13.445 (5 изд) На столе стоит цилиндрическая банка с водой. Радиус основания банки равен. Если в банку опустить шарик радиуса, то он ляжет на дно банки, а поверхность воды при этом поднимется настолько, что окажется касательной к шарику. Доказать, что произойдет то же самое, если в эту банку с тем же количеством воды опустить шарик другого радиуса. Найти радиус нового шарика и установить условия, при которых он будет больше или меньше радиуса данного шарика.

Решается аналогично приведенному выше.

Ответ: ;при,при.

РТ2 2012 В12.От пристанивниз по реке, скорость течения которойкм/ч, отходит плот. Через час вслед за ним выходит моторная лодка, скорость которой в стоячей воде 12 км/ч. Догнав плот, лодка возвращается обратно. Найдите сумму всех возможных значений, при которых к моменту возвращения лодки к пристаниплот пройдет более 18 км.

РТ3 2012 В12.Три бригады должны выполнить работу. Первая бригада делает в день 200 деталей, вторая надеталей меньше, а третья — надеталей больше, чем первая. Сначала первая и вторая бригады, работая вместе, выполняютвсей работы, затем все три бригады, работая вместе, выполняют оставшуюся часть работы. При каком значениився работа будет выполнена указанным способом за наименьшее время?

РТ 2 2011 В10. Из города выехал велосипедист, через 10 ч из городаНавстречу ему выехал второй велосипедист. При встрече оказалось, что первый велосипедист проехал На 45 км больше второго. Продолжая путь с той же скоростью и без остановок, второй велосипедист прибыл вчерез 72 ч после встречи, а первый велосипедист в— через 8 ч после встречи. Определите скорость (в км/ч) второго велосипедиста.

РТ 3 2011 В11. Два тела, находясь на расстоянии 600 м, начали двигаться навстречу друг другу. Первое проходит 9 м в секунду. Второе в первую секунду прошло 3 м, а в каждую следующую секунду проходит на 4 м больше, чем в предыдущую. Через сколько секунд два тела встретятся?

Решение

Обозначим через — количество секунд, прошедших с момента старта до встречи, тогда первое тело прошлос. Путь, пройденный вторым телом, за каждую секунду представляет арифметическую прогрессию, с первым членом — 3 и разностью — 4, тогда путь, пройденный зас равенм. Поскольку они встретились, то оба тела в сумме прошли 600 м. Получаем уравнение:

Первый корень, по физическому смыслу вводимой нами переменной, является посторонним.

Комментарий.При решении неявно подразумевалось (причем абсолютно необоснованно), что встреча произойдет через целое число секунд после начала движения.

Ответ:15.