Текстовые задачи Задачи на работу (alldone)

РТ 2 2005 В3.Один комбайн убрал урожай с половины поля, а урожай с оставшейся части поля убрал второй комбайн, который работал быстрее первого. На всю работу ушло 12,5 часа. Работая вместе, они бы убрали это поле за 4 часа. Сколько часов нужно для уборки всего поля первому комбайну, если он работает один?

Решение

Iспособ

Пусть — весь объем работы,и— производительности первого и второго комбайна соответственно, тогда— искомая величина. По условию задачи составляем систему:

Умножим первое уравнение на второе, получим По условию, следовательно,.Тогда по теореме Виета,

IIспособ

Обозначения будем использовать те же, что и в первом способе. Введем еще одно обозначение. Пусть — время, за которое первый комбайн убрал половину поля, тогда получает следующие соотношения:,и, а искомая величина равна. Тогда,. Подставим эти соотношения в третье равенство, получимили, откуда, следовательно,, откудаили. Так как второй комбайн работал быстрее, тои тогда.

Ответ: 20.

ЦТ 2007 B8.Заказ по изготовлению деталей выполняется на станках мароки. За 9 ч выполняют заказ 59 станков маркии 36 станков марки, а 13 станков маркии 43 станка марки— за 18 ч. На сколько процентов время выполнения заказа одним станком маркименьше времени выполнения заказа одним станком марки?

Решение

Iспособ

Пусть и— время выполнения заказа одним станком маркиисоответственно.— искомая величина. Пусть— объем всего заказа, тогдаи— производительности станков соответствующих марок. Получаем систему уравненийравносильную уравнению.

Знак минус в ответ писать не надо, поскольку он показывает, что время выполнения заказа одним станком марки меньше времени выполнения заказа одним станком марки.

IIспособ

Пусть станок марки имеет производительность, а производительность станка марки—. По условию задачи составим и решим уравнение:

Известно, что выполненная работа равна произведению производительности на время. Примем работу за 1, получим — время, за которое станок маркивыполнил работу, а— время за которое станок маркивыполнил работу. Отвечая на вопрос задачи, составляем и решаем пропорцию:

составляет%,

составляет 100%.

Значит, время выполнения одним станком марки меньше времени выполнения заказа одним станком маркина 34 %.

Ответ: 34.

РТ 2 2009 В4.При одновременной работе двух насосов разной мощности бассейн наполняется за 8ч. После ремонта насосов производительность первого из них увеличилась в 1,2 раза, а второго — в 1,6 раза, и при одновременной работе обоих насосов бассейн стал наполняться за 6 ч. За сколько минут наполняется бассейн при работе только первого насоса после ремонта?

Решение

Пусть и— производительности первого и второго насосов соответственно,— объем всей работы, тогда искомая величина равна. Получаем систему уравнений:

Домножим первое уравнение на 1,6 и вычтет из него второе, получим . Домножим данное соотношение на З, получим:, откуда,. 10 ч = 600 мин.

Ответ: 600.

Задачи на движение (alldone)

РТ 2004 В7.Первую четверть пути поезд двигался со скоростью 80 км/ч, а оставшуюся часть — со скоростью 60 км/ч. С какой средней скоростью двигался поезд?

Решение

Пусть — длина всего пути, тогда время, затраченное на поездку, равно. А средняя скорость равна.

Ответ: 64.

ЦТ 2004 B9.Из пунктав пункт, расстояние между которыми 104 км, с постоянной скоростью выезжает автобус. Через 30 мин за ним выезжает мотоциклист со скоростью 40 км/ч, который, догнав автобус, возвращается обратно в пунктс прежней скоростью. Наибольшее целое значение скорости (в километрах в час), при котором автобус прибывает в пунктраньше, чем мотоциклист возвращается в пункт, равно…

Решение

I способ

Пусть — скорость автобуса, при которой он прибывает в пунктраньше мотоциклиста, возвращающегося в пункт. Тогда и при всех скоростях больших, но меньших 40 (иначе мотоциклист не догонит), автобус прибудет раньше мотоциклиста. Ограничение скорости автобуса наложено в том факте, что мотоциклист догнал автобус. Значит, максимальное значение скорости автобуса () будет тогда, когда мотоциклист его догонит в пункте. Получаем уравнение. Откуда,.

При данном решении обязательно надо сделать проверку, что при скорости 33 км/ч автобус прибывает в пункт раньше, чем мотоциклист возвращается в пункт.

Найдем время, за которое мотоциклист догонит автобус: ч. Очевидно, что за это же время мотоциклист вернется назад. Найдем время, за которое автобус доедет в пункт, после встречи с мотоциклистом:ч.

II способ

Пусть — скорость автобуса. Тогда— время, за которое мотоциклист догонит автобус, за это же время, мотоциклист вернется назад.— время, за которое мотоциклист совершит поездку.— время движения автобуса.— путь проделанный мотоциклистом до встречи с автобусом. Получаем системуРешение первого неравенства системы:,— решение второго неравенства, тогда— решение системы. Поскольку,то 33 является ответом.

Ответ: 33.

РТ 2 2008 В9.Из поселка в одном и том же направлении выехали последовательно с интервалом в 1 час три велосипедиста. Так как первый из них двигался со скоростью 12 км/ч, второй — 10 км/ч, то третий велосипедист, имея более высокую скорость, догнал сначала второго велосипедиста, а еще через два часа первого. Запишите в ответе число, выражающее скорость (км/ч) третьего велосипедиста.

Решение

Пусть — скорость третьего велосипедиста, тогда— время, за которое догонит третий велосипедист второго, а— время, за которое третий велосипедист догонит первого. По условию задачи получаем уравнение:

Откуда , что противоречит тому, что скорость третьего велосипедиста самая большая, и.

Ответ: 20.

РТ 1 2011 В10.Две автомашины выехали одновременно из одного и того же пункта в одном и том же направлении: одна — со скоростью 40 км/ч, а другая — 50 км/ч. Спустя полчаса из того же пункта в том же направлении выехала третья машина, которая обогнала сначала первую, а еще через 1 час 30 мин — вторую машину. Найдите скорость третьей машины.

Решается аналогично.

РТ 3 2008 В11.Из городав городвыезжает велосипедист, а через 3 часа после его выезда из городавыезжает навстречу мотоциклист, скорость которого в 3 раза больше скорости велосипедиста. К моменту встречи велосипедист проехал половину пути до. Если бы мотоциклист выехал не через 3, а через 2 часа после велосипедиста, то встреча произошла бы на 15 км ближе к. Найдите расстояние междуи.

Решение

Пусть длина пути от доравна,— скорость велосипедиста, тогда— скорость мотоциклиста,— путь проделанный велосипедистом до выезда мотоциклиста,— время встречи велосипедиста и мотоциклиста. Получаем уравнение:

По аналогии для случая „если бы… “ получаем:

Объединяем эти уравнения в систему и приводим подобные:

Комментарии. Если рассматривать движение мотоциклиста, то получаем следующую систему:

Ответ: 180.

ЦТ 2008 В10.Из двух городовиодновременно навстречу друг другу с постоянными скоростями выехали два автомобиля. Первый автомобиль приехал в городчерез 16 часов после встречи, а второй — в городчерез 25 часов после встречи. За какое время первый автомобиль проезжает путь отдо?

Решение

Iспособ

Изобразим схематично, движение автомобилей на координатной плоскости (время – пройденный путь). Из подобия прямоугольных треугольников,иимеем, чтоПусть до встречи автомобили проехаличасов, тогда

Значит, первый автомобиль проезжает путь за 20+16 часов.

IIспособ

Пусть скорость первого автомобиля равна км/ч, скорость второгокм/ч, а время до встречи равно.

Рассмотрим рисунок.

Составим пропорцию: ,,. То есть до встречи оба автомобиля ехали по 20 часов. Тогда 20+16 часов затратил первый автомобиль на путь отдо.

IIIспособ

Пусть (где— весь путь отдо,) часть пути, который прошел первый автомобиль до встречи. Тогда второй до встречи прошелчасть пути. Так как первый автомобиль приехал в городчерез 16 часов после встречи, то его скорость равна, а второй — в городчерез 25 часов после встречи, то его скорость равна. Найдем время, за которое автомобили пройдут все расстояние. Первый:. Второй:.

Так как первый автомобиль приехал в город через 16 часов после встречи, а второй — через 25 часов после встречи, то составим и решим уравнение

Так как , то принаходим время, за которое первый автомобиль проезжает путь от до т.е.

Ответ: 36.

РТ 1 2009 В10.Поезд идет по расписанию из городав город14 ч. Проехав некоторую часть пути, поезд снизил скорость в 2 раза и поэтому прибыл вс опозданием на 7 ч. Если бы поезд до снижения скорости проехал на 300 км больше, то опоздание составило бы 4 ч. Найдите расстояние в км между городами.

Решение

Iспособ

Пусть — расстояние между городами,— первоначальная скорость поезда,— время, когда поезд снизил скорость. В задаче описаны три ситуации. В каждой ситуации выразим путь, получим систему из 3 уравнений:

Раскроем скобки и вычтем из второго уравнение третье, получим уравнение , откуда,.

IIспособ

Пусть — расстояние, которое прошел поезд, перед тем, как снизить скорость. По аналогии с первым способом, для каждой ситуации выразим затраченное время:

Разобьем в третьем уравнении каждую дробь на два слагаемых так, чтобы одно из них совпадало с дробью из второго уравнения, и вычтем из второго уравнения третье, получим ,.

Ответ: 1400.

РТ 2 2010 В12.Три автомобиля двигаются по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. Когда впервые два из них находились в одной точке, третий был на расстоянии 30 км позади них. Когда третий автомобиль догнал второй, первый отстал от них на 6 км. Найдите расстояние (в км) между первым и вторым автомобилями в тот момент, когда первый и третий находились в одной точке.

Решение

Iспособ

Из условия задачи следует, что когда третий автомобиль догнал второго, он продвинулся относительно первого на 36 км, ликвидировав отставание в 30 км и обогнав его на 6 км. За это время второй автомобиль продвинулся относительно первого на 6 км. Следовательно, относительная скорость третьего автомобиля по отношению к первому вшестеро больше относительной скорости второго автомобиля по отношению к первому. Таким образом, когда третий автомобиль ликвидирует отставание от первого в 30 км, второй автомобиль обгонит первого на 5 км.

Iaспособ

Пусть скорости первой, второй и третьей машины равны ,икм/ч. Тогда время, за которое третья машина догонит вторую равно. Это время равно времени, за которое первый автомобиль отстанет от второго на 6 км, то есть. За это же время расстояние между третьим и вторым сократилось с 30 км до 0, а после этого увеличилось до 6 км, т.е.. Имеем. Чтобы найти расстояние между вторым и первым автомобилями в тот момент, когда третий и первый находились в одной точке, можно из расстояния, на которое успел отъехать второй, вычесть расстояние, которое за то же время прошел первый. Время, за которое третий догнал первый, равно. За это время второй прошелкм, а первый —км. Таким образом, ответ дает выражение. Из уравнениявыразим, а извыразим. После сокращения дроби получим, что.

IIспособ

Треугольник подобен треугольнику, следовательно,,,.

Треугольник подобен треугольнику, следовательно,,,,.

IIIспособ

Пусть ,,— скорости первого, второго и третьего автомобиля,,— моменты времени, когда произошли встречи третьего и первого, второго и третьего автомобилей соответственно. Получаем равенства:,,. Из них получаем:, откуда. Поскольку надо найти, то имеем, то есть, окончательно,, то есть.

IIIа способ

Пусть ,, тогда,,,. Получаем,. В каждом из равенств сокращаем время, имеем..

Ответ: 5.

РТ 3 2005 В9.Рыболов, охотник и грибник идут в одном направлении с постоянными скоростями. Когда рыболов и охотник находились в одной точке, грибник отставал от них на 220м. Когда грибник догнал охотника, рыболов отставал от них на 180м. Найдите расстояние (м) между охотником и рыболовом, в тот момент, когда грибник и рыболов находились в одной точке.

Решение аналогично задаче выше. Ответ: 99.