19-12-2012_14-02-49 / МПМ 2012-2013 Семест 5 Вопросы и тренир. задачи к экзамену (Студентам)

Вопросы к экзамену по курсу МПМ для специальности 1-31 03 01 02 «Математика (научно-педагогическая деятельность)»

Учебный год 2012-2013, курс – 3, семестр – 1

1. Математика как наука и как учебный предмет. Предмет и задачи методики преподавания математики.

2. Закономерности и принципы обучения. Реализация дидактических принципов в обучении математике.

3. Цели обучения математике: общеобразовательные, воспитательные и развивающие.

4. Содержание обучения математике. Характеристика термина «элементарная математика».

5. Математические понятия. Содержание и объем понятия. Зависимость между содержанием и объемом. Составить «родословную» понятия «квадрат».

6. Способы определения математических понятий: через ближайший род и видовое отличие, индуктивно, аксиоматически (косвенно), через абстракцию. Явные и неявные определения.

7. Характеристика основных типов ошибок, допускаемых учащимися при определении понятий.

8. Методика формирования математических понятий.

9. Основные виды математических предложений: аксиома, теорема, постулат; необходимое, достаточное, необходимое и достаточное условия.

10. Теорема и ее структура, основные виды теорем. Методика изучения теорем: методика обучения доказательствам теорем; косвенное доказательство и его формы; прямое доказательство.

11. Описать методику изучения теорем в школьном курсе математики на примере теоремы: «Сумма углов треугольника равна 180⁰».

12. Используя косвенное доказательство, доказать теорему: «Через каждую точку на прямой можно провести прямую, перпендикулярную исходной прямой, и только одну».

13. Методы научного познания в обучении математике: анализ и синтез.

14. Анализ и синтез в решении геометрических задач на построение проиллюстрировать на примере решения задачи: «Построить прямоугольный треугольник по катету и сумме гипотенузы с другим катетом».

15. Анализ и синтез в решении геометрических задач на построение проиллюстрировать на примере решения задачи: «Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и радиусу вписанной в него окружности».

16. Анализ и синтез при решении текстовых задач проиллюстрировать на примере решения задачи: «Некоторое двузначное число в 4 раза больше суммы своих цифр и в 3 раза больше произведения своих цифр. Найдите это число».

17. Решить задачу с использованием восходящего анализа: «Дано: окружность, CD и AB – хорды окружности, которые пересекаются в точке М. Доказать, что АМ·МВ= СМ·МD».

18. Решить задачу, используя нисходящий анализ: «Доказать, что квадрат медианы, проведенной к катету прямоугольного треугольника, сложенный с утроенным квадратом половины этого катета, равен квадрату гипотенузы».

19. Методы научного познания в обучении математике: сравнение.

20. Методы научного познания в обучении математике: аналогия.

21. Методы научного познания в обучении математике: индукция. Определение индукции, полная и неполная индукции; индуктивный метод исследования; индуктивный метод обучения и дедукция.

22. Проиллюстрировать метод индукции на примере задачи: «Какой цифрой оканчивается десятичная запись числа 3²⁰¹³?»

23. Методы научного познания в обучении математике: дедукция. Определение дедукции, дедуктивный метод исследования, дедуктивный метод обучения.

24. Методы научного познания в обучении математике: обобщение и специализация, абстрагирование и конкретизация. Проиллюстрировать их совместное применение на поиске признака делимости натуральных чисел на 6.

25. Математические методы познания в обучении математике: охарактеризовать метод математических моделей и аксиоматический метод.

26. Эмпирические методы обучения математике. Решить задачу: «Доказать, что не существует числа, квадрат которого оканчивается цифрой 7».

27. Математические задачи и их функции в обучении.

28. Обучение поиску решения задач. Схема Пойя. Структура процесса решения задачи.

29. Проведите с помощью схемы Д. Пойя поиск решения и решите задачу: «Расстояние от центра окружности до хорды длиной 16 см равно 15 см. Найдите площадь треугольника, описанного около окружности, если периметр треугольника равен 200см».

30. Описать методику решения геометрических задач на примере решения задач: «Длины сторон параллелограмма равны 10 см и 3 см. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противолежащую сторону на три отрезка. Найти длины этих отрезков».

31. Описать методику решения задач на проценты на примере решения следующей задачи: «Свежие грибы содержат 90% воды, а сушеные – 12%. Сколько нужно собрать свежих грибов, чтобы получить 15 кг сушеных?»

32. Методы обучения, выделяемые по источнику знаний.

33. Методы обучения, определяемых уровнем познавательной деятельности учащихся: репродуктивные, проблемно-поисковые методы, методы самостоятельной работы.

34. Средства обучения математике в средних учебных заведениях: учебник как основное средство обучения, дидактические материалы, технические средства обучения, наглядные пособия.

35. Урок – основная организационная форма обучения математике. Типы уроков по математике и их структура.

36. Проектирование урока математики. Анализ и самоанализ урока математики.

37. Факультативные занятия по математике. Внеклассная работа по математике.

38. Сущность самостоятельной работы при обучении математике, ее роль в учебном процессе и способы организации.

39. Виды, формы и методы контроля.

40. Нормы оценки результатов учебной деятельности учащихся.

41. Методика организации контроля и оценки результатов учебной деятельности учащихся.

42. Разработайте план-конспект урока по изучению теоремы Виета.

43. Разработайте план-конспект урока по теме: «Вывод формулы корней квадратного уравнения».

44. Разработайте план-конспект урока по теме: «Первый, второй и третий признаки равенства треугольника» по учебнику Киселева А.П. Геометрия. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

45. Разработайте план-конспект урока по теме: «Четвертый признак равенства треугольника и следствия из него».

46. Разработайте план-конспект урока по теме: «Четыре замечательные точки в треугольнике» по учебнику Киселева А.П. Геометрия. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

47. Разработайте план-конспект урока по теме: «Теорема Пифагора» по учебнику Киселева А.П. Геометрия. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

48. Разработайте план-конспект урока по теме: «Вписанные и некоторые другие углы» по учебнику Киселева А.П. Геометрия. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

Тренировочные задачи

1. Описать методику решения задач на движение на примере такой задачи: «Из двух городов навстречу друг другу вышли два поезда. Первый шел со скоростью 54 км/ч, а второй, выйдя на два часа позже первого, – со скоростью 75 км/ч и до встречи прошел на 102 км больше первого. Каково расстояние между городами?»

2. Описать методику решения текстовых задач методом уравнений на примере решения задачи: «Турист проехал 160 км, причем 5/8 этого пути он ехал на автомашине, а остальную часть – на катере. Скорость катера на 20 км/ч меньше скорости автомашины. На автомашине турист ехал на 15 минут больше времени, чем на катере. Чему равны скорости катера и автомашины?»

3. Решить задачу: «На хрустальную люстру подняли цену на 45%, а затем еще на 20%. На сколько процентов увеличилась цена люстры после двух повышений ?». Описать методику решения задач на проценты.

4. Используя метод геометрических мест точек, решить задачу: «Постройте треугольник по стороне и проведенным к ней медиане и высоте».

5. Описать методику решения текстовых задач алгебраическим методом на примере решения следующей задачи: «В зрительном зале клуба было 320 мест, расположенных одинаковыми рядами. После того как число мест увеличили на 4 в каждом ряду и добавили еще один ряд, в зрительном зале стало 420 мест. Сколько стало рядов в зрительном зале?»

6. Описать методику решения задач на движение на примере задачи: «Из города А в город В, расстояние между которыми 10 км, отправился пешеход. Через 30 минут после него из А в В отправился велосипедист, скорость которого на 6 км/ч больше скорости пешехода. Велосипедист, обогнав пешехода и доехав до города В, возвратился обратно в А и приехал туда в тот момент, когда пешеход пришел в город В. Определить скорость пешехода».

7. Описать методику решения задач на проценты на примере задачи: «Кооператив на изготовляемые им изделия первоначально назначил цену выше государственной на определенное число процентов. Через некоторое время кооператив уценил изделия на то же число процентов. В результате цена стала на 1% меньше государственной. На какое число процентов кооперативная цена первоначально превышала государственную?»

8. Описать фрагмент урока по решению арифметическим способом следующей задачи: «Из 250 лошадей было 30 вороных, а 0,7 остальных лошадей табуна были серыми. Кроме вороных и серых, были лишь лошади рыжей масти. Сколько было лошадей рыжей масти?»

9. Описать фрагмент урока по решению текстовых задач алгебраическим способом на примере следующей задачи: «Сумма двух чисел равна 48, а их произведение равно 527. Найдите эти числа».

10. Решить следующую задачу: «Расстояние между пристанями А и Б – 145 км. Пароход отправился из А вниз по течению реки и через 5 часов был в Б. За сколько часов пароход прибудет из Б в А, если скорость течения реки – 4,5 км в час». Описать методику анализа и поиска ее решения.

11. Описать фрагмент урока по решению текстовой задачи математического содержания: «Некоторое двузначное число в 4 раза больше суммы своих цифр и в 3 раза больше произведения своих цифр. Найдите это число».

12. Решить следующую задачу: «Товарный поезд был задержан в пути на 16 минут, а затем на расстоянии в 80 км наверстал потерянное время, увеличив скорость на 10 км в час. Найти первоначальную скорость поезда». Описать методику анализа условия задачи.

13. Решить следующую задачу на построение: «Построить четырехугольник, если даны все его четыре стороны и известно, что одна из диагоналей делит один из углов пополам». Описать методику проведения первого этапа решения таких задач.

14. Решить задачу: «Бассейн наполняется через первую трубу на 5 часов быстрее, чем через вторую. Бассейн можно наполнить, если открыть сначала одну первую трубу на 5 часов, а затем одну вторую на 7,5 часов. За сколько часов наполнится бассейн при совместной работе обеих труб?». Описать методику анализа условия задачи.

15. Решить задачу: «Длины сторон параллелограмма равны 10 см и 3 см. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противолежащую сторону на три отрезка. Найти длины этих отрезков». Описать методику поиска ее решения.

16. Описать фрагмент урока по решению геометрических задач на доказательство: «В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС и углом при вершине В, равном 36°, проведена биссектриса AM. Докажите, что треугольники СМА и АМВ – равнобедренные».

17. Описать фрагмент урока по решению геометрической задачи на вычисление: «В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на части, разность длин которых равна 6 см. Найдите катеты этого треугольника, если высота равна 4 см».

18. Решить задачу: «Двое туристов идут навстречу друг другу из пунктов А и В. Первый вышел из А на 6 часов позже, чем второй из В, и при встрече оказалось, что он прошел на 12 км меньше второго. Продолжая движение с той же скоростью первый пришел в В через 8 часов, а второй – в А через 9 часов после встречи. Найдите скорость каждого туриста».

19. Описать фрагмент урока по решению следующей текстовой задачи: «Диагональ прямоугольника равна 15 см. Если одну из его сторон уменьшить на 6 см, а другую уменьшить на 8 см, то периметр уменьшится в три раза. Найдите стороны прямоугольника».

20. Решить задачу: «Двое рабочих, выполняя задание вместе, могли бы закончить его за 12 дней. Если сначала будет работать только один из них, а когда он выполнит половину всей работы, его сменит второй рабочий, то все задание будет выполнено за 25 дней. За сколько дней каждый рабочий в отдельности может выполнить все задание?»

21. Описать методику решения задач алгебраическим методом на примере следующей задачи: «Однозначное число увеличили на 10 единиц. Если полученное число увеличить на столько же процентов, как в первый раз, то получится 72. Найти первоначальное число».

22. Решить задачу: «Доказать, что сумма расстояний от произвольной точки на основании до боковых сторон равнобедренного треугольника равна высоте этого треугольника, проведенной к боковой стороне». Описать методику решения задач на доказательство.

23. Решить задачу: «Найти площадь трапеции, у которой боковые стороны равны 3 см и 5 см, а основания равны 7 см и 11 см». Описать методику решения геометрических задач на вычисление.

24. Описать фрагмент урока по решению задач на проценты на следующем примере: «Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85 % воды, чтобы получить массу с содержанием 75 % воды?»

25. Описать методику решения следующей задачи алгебраическим методом: «Катер отошел от причала одновременно с плотом и прошел вниз по реке 40/3 км. Не делая остановки, он развернулся и пошел вверх по реке. Пройдя 28/3 км, он встретился с плотом. Если скорость течения реки 4 км в час, то какова собственная скорость катера?»

26. Описать методику решения следующей задачи алгебраическим методом: «6 коров за 3 дня съедают траву на участке 0,2 га, 8 коров за 4 дня съедают траву на участке 0,3 га. Сколько дней смогут пастись 12 коров на участке площадью 0,6 га? (Прирост травы на участке пропорционален его площади и времени)»

27. Описать методику решения задач арифметическим методом на примере следующей задачи: «Длина прямоугольного параллелепипеда 8 м, ширина 6 м и высота 12 м. Найдите сумму площадей его наибольшей и наименьшей граней».

28. Описать методику решения текстовых задач на движение на примере следующей задачи: «От пристани А вниз по течению отравились катер и плот. Катер доплыл до В, повернул обратно и встретил плот через 4 часа после выхода из А. Сколько времени катер шел от А до В?»

29. Описать методику решения текстовых задач на движение на примере решения следующей задачи: «Автомобиль проезжает расстояние от А до В за один час. Автомобиль выехал из А, и одновременно из В вышел пешеход. Автомобиль, встретив пешехода, довез его до А, а затем прибыл в В, затратив на весь путь 2 часа 40 минут. За какое время может пройти путь от В до А пешеход?»

30. Решить задачу: «Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 1, а в остатке 16. Если же к квадрату разности цифр этого числа прибавить произведение его цифр, то получится данное число. Найдите это число» и записать систему вопросов для управления поиском ее решения.

31. Решить задачу: «В треугольнике АВС медиана ВD равна половине стороны АС. Найдите угол В треугольника». Охарактеризовать роль чертежа при решении планиметрических задач.

Задачи на построение (По учебнику Киселева А.П. Геометрия)

32(62). Построить треугольник по трем его сторонам а, b и с

33(63). Построить угол, равный данному углу ABC, одной из сторон которого является данная прямая MN и вершина которого находится в данной точке О, расположенной на прямой MN.

34(64). Разделить данный угол ABC пополам.

35(65). Из данной точки С прямой АВ восставить к этой прямой перпендикуляр.

36(66). Из данной точки А опустить перпендикуляр на данную прямую ВС.

37(67). Провести перпендикуляр к данному отрезку прямой (АВ) через его середину.

38. Построить треугольник, зная его основание В, угол а, прилежащий к основанию, и сумму s двух боковых сторон (рис. 71).