Задачи на проценты (alldone)

РТ 2004 В9.Влажность фруктов 80%, а сухофруктов 24%. Сколько нужно фруктов, чтобы получить 5 кг сухофруктов?

Решение

Пусть кг нужно фруктов, чтобы получить 5 кг сухофруктов.

В кг фруктов содержитсякг воды. В 5 кг сухофруктов содержитсякг воды.

Если из сухофруктов и фруктов удалить всю воду, то получим равные количества:

Ответ: 19.

Сканави 13.379 (5 изд) Цена бриллианта пропорциональна квадрату его массы. Бриллиант массойкарат был разбит на две части, после чего его стоимость уменьшилась враз. Найдите массу частей, на которые был разбит бриллиант. Доказать, что наибольшая потеря в стоимости бриллианта происходит в том случае, когда обе его части равны по массе.

Решение

Пусть и— масса первой и второй части соответственно,— коэффициент пропорциональности цены к массе. Составляем систему.

Из последнего уравнения системы получаем ., т.к. дискриминант должен быть неотрицательным, то наибольшее, при котором дискриминант неотрицателен, равен 2.

Ответ: ,.

РТ 3 2007 В8.Пусть стоимость алмаза пропорциональна квадрату его массы. При огранке алмаз раскололся на две части. Стоимость одной из частей оказалась на 98,79% меньше, чем первоначальная стоимость алмаза. Найдите, сколько процентов от первоначальной массы алмаза составляет масса этой части.

Решение

Фраза «стоимость алмаза пропорциональна квадрату его массы» формализуется так: пусть ― масса алмаза, тогда― его стоимость, где― коэффициент пропорциональности.

Фраза «при огранке алмаз раскололся на 2 части» формализуется так: ― масса одной из частей алмаза (пусть это будет первая часть),― стоимость этой части алмаза.

Фраза «стоимость первой части оказалась на 98,56 % меньше, чем первоначальная стоимость алмаза» формируется так: ― стоимость первой часть алмаза.

Завершается условие задачи вопросом «сколько процентов от первоначальной массы алмаза составляет масса первой части?», т.е. требуется найти .

Среди составленных алгебраических выражений имеются два, означающих одну и ту же величину (стоимость первой части алмаза): и. Приравняем их и упростим полученное уравнение:. Отсюда искомая величинаравна 11.

Ответ: 11.

РТ 1 2010 В2.Однозначное число увеличили на 8 единиц. Если полученное число увеличить на столько же процентов, как и в первый раз, то получится 36. Найдите первоначальное число.

Решение

Фраза/переформулировка	Математическая модель
Однозначное число
увеличили на 8 единиц.
на сколько процентов оно увеличилось
Т.е. число выросло в раза
Если полученное число увеличить на столько же процентов (во столько же раз), как и в первый раз,
то получится 36.
Найдите первоначальное число.

Ответ: 4.

Задачи на смеси и концентрации(all done)

ЦТ 2006 B8.Два сосуда равных объёмов до краёв заполнены раствором кислоты равной концентрации. Из первого сосуда отлили 1 л раствора и долили 1 л воды. Потом эту же процедуру повторили ещё раз. Из второго сосуда отлили 3 л раствора и долили 3 л воды. Потом эту же процедуру повторили ещё раз. В результате концентрация кислоты в первом сосуде стала в 1,96 раза больше, чем во втором. Найдите объём сосуда (в литрах).

Решение

Пусть — объем сосуда. По условию задачи. Пусть— первоначальная концентрация кислоты в растворе, тогда— концентрация кислоты, после первой процедуры в первом сосуде.— концентрация кислоты после второй процедуры. По аналогии, после второй процедуры, концентрация кислоты во втором сосуде —.

Получаем уравнение:

.Второй корень посторонний.

Ответ: 8.

РТ 1 2008 В8.В двух сосудах находилось 600 г и 150 г растворов соли различной концентрации. Из каждого сосуда взяли одновременно пограммов раствора. Взятое из первого вылили во второй, а взятое из второго — в первый. После этого концентрация растворов в обоих сосудах стала одинаковой. Найдите.

Решение

Фраза	Математическая модель
	I сосуд		II сосуд
	концентрация	масса соли	концентрация	масса соли
В двух сосудах находилось 600 г и 150 г растворов соли различной концентрации.
Из каждого сосуда взяли одновременно по граммов раствора.
Взятое из первого вылили во второй, а взятое из второго — в первый.
После этого концентрация растворов в обоих сосудах стала одинаковой.
Найдите .	По условию концентрация различная, значит , и получаем равносильное уравнение.

Ответ: 120.

ЦТ 2012 В11. Из двух растворов с различным процентным содержанием спирта массой 100 г и 900 г отлили по одинаковому количеству раствора. Каждый из отлитых растворов долили в остаток другого раствора, после чего процентное содержание спирта в обоих растворах стало одинаковым. Найдите, сколько раствора (в граммах) было отлито из каждого раствора.

Решается аналогично.