32.Вычисление частных производн неявно заданных ф-ций.

Пусть F(u, x1…xn) и выполн услов теоремы о сущ и дифференц неявной ф-ции тогда для поного приращ ф-ции

u= f(x1,x2…xn), справл выраж: ., где…, что частн производ неявно заданной ф-ции определ:…. Если мы хотим обеспеч сущ у неявно задан ф-ции частных производ 2-го порядка то треб усил требов налог на ф-ции F(u, x1…xn) т.е. необход чтобы F было дважды дифференц ф-ция Ф(u, x1…xn) можно рассм как сложн ф-цию x1, x2 частн произв этой сложн ф-ции по x1 и x2 наз полными произв Ф(u, x1…xn) по перемен x1, x2 и обозн::по прав дифференц сложн ф-ции получ ф-лы для указан произв: :; :. Частные произв 2-го порядка неявно задан ф-ций опред:;;.

33.Неявные ф-ции определ систем функцион уравнений.

Пусть m ф-ций u1=(x1,x2…xn), u2=(x1,x2…xn)… un=(x1,x2…xn)

Ищутся как решении системы m функцион уравнен системы: F1= ( u1,u2…un, x1,x2…xn)=0, F2=u1,u2…un, x1,x2…xn)=0,..Fn=( u1,u2…un, x1,x2…xn)=0 (1). Состав из частн производ ф-ций F1, F2…. Fn определитель:этот определ наз определ Якоби или якобианом по перемен u1,u2…um и обозн:. Теор: пусть m ф-ций (1) дифференц в некоторой окрестн точки М0,…;,…) простр Rn+m причем частн произв этих ф-ций по перемен u1,u2…um непрер в точке М0 тогда если в точке М0 все ф-ции (1) обращ в 0, а якобианотличен от 0, то для достат малых полож чисел:найд такая точка М0;,…) простр Rn, что в приделах этой окрестн сущ единств m ф-ции: u1=(x1,x2…xn), u2=(x1,x2…xn)… un=(x1,x2…xn) котор удовл услоям:и явл решен системы уравн (1) при чем это решение непрер и диференц в указанной точке М0. Замеч: при m=1 эта теор переходит в теор о сущ неявной ф-ции т.к. в этом случаи якобиан превращ в частную произ:. Рассм вопрос о нахож частн произ ф-ций неявно определ системой функцион уравнен (1) подстав ф-ции ui=(x1,x2…xn) в систему уравн: Fj=(u1,u2…um; x1,x2…xn)=0 продифференц получ тождества по переем x1,x2…xn получ частн производ:=0 эти равенст представл собой систему лин уравнен относ неизв:;…. Определ этой системы отлич от 0 в окрест точки М0, поэтому эта система имеет единств решение определ ф-лами Крамера:=. Замеч: Выраж для частн произв второго и более высоких порядков, можно получить по средствам дифференц указанных ф-ций.

34. Зависимость ф-и нескольких переменных

(3.7)

Теорема 4 (достаточное условие независимости) Пусть1) функции (3.7) дифференцируемы в некоторой окрестности точки ; 2) якобиан этих функций по каким-либо переменным не равен нулю в этой точке. Тогда функции (3.7) независимы в некоторой окрестности точки.Следствие Если функции (3.7) зависимы в некоторой окрестности точки, то все якобианыравны нулю в этой окрестности. Опр: если не сущ-ет дифф-ой функции Ф токой, что для всех (.) облости Д справедливо тождествоUk= Ф(U1 ,U2 ,…Uk+1,…Um), то фун-ии (U1 ,U2,…Um) называются независимыми в облости Д.

35.Функциональные матрици

Пусть у функциональной матрицы

1.нек-ый минор r порядка отличен от 0 в т. М0

2. все миноры порядка r+1 равны 0 в не-ой окрестности т. М0

Тогда r ф-ций представленных в указ. Миноре к-ого порядка независимы в окр-ти т. М0 , а каждая из остальных ф-ций зависит в этой окр-ти от указ. r ф-ций.