![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Пространство rⁿ
- •2.Метрическое пространство, евклидово пространство.
- •3.Основные или важнейшие множества точек пространства
- •4.Функции n-переменных.
- •5.Сходимость в пространтсве Rn.
- •6.Предел функции нескольких переменных.
- •8.Повторные пределы.
- •9.Непрерывность функции нескольких переменных.
- •10.Непрерывность функции нескольких
- •11. Основрые свойства непрерывных функций нескольких переменных
- •12. Частные производные ф-ии нескольких переменных
- •13. Дифференцируемость ф-ии нескольких переменных
- •14. Дифференциал функции нескольких переменных
- •15. Достаточное условие дифференцируемости ф-ии нескольких переменных
- •16. Дифференцирование сложной ф-ии
- •17. Однородная функция. Теорема эйлера об однородных функциях
- •18. Инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных
- •19. Геометрический смысл дифференциуемости функции двух переменных
- •20. Производная по направлению
- •21.Частные производные высшего порядка.
- •22.Теорема о равенстве смешанных производных второго порядка ф-ции двух переменных.
- •23.Производные высших порядков.
- •26. Экстремум функции многих переменных.
- •27.Достаточные услов локальн экстрем ф-ций нескол перемен.
- •28. Критерий Сильвестра
- •29.Определение наибольшего и наименьшего значения
- •30.Не явные ф-ции.
- •31.Теорема о существ и диф-ти неявной ф-ции.
- •32.Вычисление частных производн неявно заданных ф-ций.
- •33.Неявные ф-ции определ систем функцион уравнений.
- •34. Зависимость ф-и нескольких переменных
- •35.Функциональные матрици
- •36. Усл.Экстремум
- •37.Метод неопредёлённых множетелей Логранжа.
- •38.Числовой ряд. Сходимость, расходимость рядов.
- •39.Необход признак сходим ряда.
- •40. Признак сравнения рядов
- •41.Признак Даламбера.
- •42.Признак Коши.
- •43. Интегральный признак Коши
- •44. Признак Лейбница
- •45. Абсолютная сходимость рядов
- •46. Признаки Дирихле и Абеля
- •47.Функциональные последовательности и ряды.
- •48.Равномерная сходимость функциональных рядов.
- •49.Свойства равном сходящ функции рядов.
- •50.Степенные ряды.
- •53.Ряд Фурье для четн. И нечетн. Ф-ий:
- •54.Ряд Фурье для ф-ций заданных на отрезке .
- •55.Криволинейный интеграл I рода:
- •56.Сведение криволинейного интеграла первого рода к определенному.
- •57.Криволинейный интеграл II рода:
- •59.Случай замкнутого контура:
- •61Cвязьмежду криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода
- •62 Условия независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути интегрирования.
- •63.Признак полоного диф-ла.
- •64.Вычисление криволинейного интеграла через первообразную
- •65Криволинейный интеграл 2-го рода
- •66 Двойной интеграл
- •67Сведение
- •68 Условие существования
- •69 Основные св-ва 2ного интеграла
- •70Замена переменных в двойном интеграле. Общий случай криволинейных координат
- •71. Формула Грина
- •72. Приложения двойных интегралов.
- •74 Определение и свойства тройного интеграла
- •75 Вычисление тройного интеграла.
- •76 Замена переменных в тройном интеграле.
- •77. Многократные интегралы.
- •80.Вычисление площади поверхности
- •85.Скалярное и векторное поля.
- •88.Циркуляция
- •90.Ротор.
- •92.Интеграл Дирихле.
- •93.Признак Дини сходимости тригонометрического ряда Фурье.
- •94.Признаки Дини, Липшица равномерной сходимости рядов Фурье.
- •96. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье.
- •97.Преобразования Фурье
- •98.Cвойства преобразования Фурье.
40. Признак сравнения рядов
(признак Дирихле) Пусть
1)
последовательность
монотонна и
,2)
последовательность сумм
,
,
ограничена. Тогда ряд
сходится.
(признак Абеля) Пусть
1)
последовательность
ограничена и монотонна, 2) ряд
сходится. Тогда ряд
сходится.
(признак
Коши) Пусть для ряда
(
)
существует предел
.
Тогда при
ряд
сходится, а при
ряд
расходится.
(признак
сравнения) Пусть для членов рядов
и
справедливо неравенство
.
Тогда:1) если ряд
сходится, то и ряд
сходится, 2) если ряд
расходится, то и ряд
расходится
(интегральный
признак Коши) Если неотрицательная
интегрируемая функция
на промежутке
монотонно убывает, и члены ряда
имеют вид
,
то ряд
и несобственный интеграл
сходятся или расходятся одновременно,
причем в случае сходимости имеет место
неравенство:
41.Признак Даламбера.
Пусть
дан ряд
,
,
если существ:
,
то данный ряд сход при q<1, и при q>1
расход. Д-во: равенс:
,
означ что
N, что при n>N, будет
;
q-
рассмотр 2 случая: 1) q<1 выбер
так, чтобы
тогда:
или an+1<(
)
an – при n>N, пологая n=N+1, N+2.. получ
an+2<an+1
);
an+3<an+2(
)
an+1<
);
an+4<an+3(
)
<an+2(
);
след начин с n+2 все члены ряда не
превосх соотв членов геометр прогрессии,
котор сход:
<1
поэт сход и данный ряд; 2) пусть q>1 выбер
так, чтобы
,
тогда
,
an+1>(q-
an это означ что начин с номера N+1 все
члены ряда возраст в этом случ не выполн
необход признак сход и значит ряд
расходится.
42.Признак Коши.
Пусть
дан ряд
,
,
если сущ
,
то данный ряд сход при q<1 и при q>1
расход. Д-во: услов
,означ
что
N, что при n>N, будет
или отсюда q-
Рассм
две ситуации:1) q<1 выбер
так чтобы
,
тогда
и
)n,
следов каждый член ряда начин с номера
N+1 меньше соотв члена сходящ геометр
прогрессии, поэтому данный ряд сход;
2) пусть q>1 выбер
так, чтобы
,
тогда
,
)n,
тоесть начин с номера N+1 члены ряда
возрастают в этом случ не вып необход
признак сход ряда и данный ряд расход.
43. Интегральный признак Коши
Если
неотрицательная интегрируемая функция
на промежутке
монотонно убывает, и члены ряда
имеют вид
,
то ряд
и несобственный интеграл
сходятся или расходятся одновременно,
причем в случае сходимости имеет место
неравенство:
44. Признак Лейбница
Пусть
члены знакочередующегося ряда
удовлетворяют условиям:
1)
;2)
.
Тогда
ряд
сходится, а его сумма
не превосходит первого члена, т. е.
.
45. Абсолютная сходимость рядов
Пусть
дан ряд
=а1+а2+…,
членами которого явл. действительные
ч-ла любого знака. Рассм. ряд, составленный
из модулей членов данного ряда
=а1+а2+…
Теорема.
Если ряд
сходится, то сходится и ряд
.Ряд
называется абсолютно сходящимся, если
ряд с неотрицательными членами
сходится.Если ряд
сходится, а ряд
расходится, то ряд
называется условно сходящимся.
Замечание. Для того, чтобы ряд был абсолютно сходящимся необх. и достаточно, чтобы ряды составленные только из положит. и только из отриц. Его членов были сходящимися.
46. Признаки Дирихле и Абеля
Для исследования сходимости знакопеременных рядов часто используются признаки Дирихле и Абеля.Теорема (признак Дирихле) Пусть
1)
последовательность
монотонна и
,2)
последовательность сумм
,
,
ограничена.
Тогда
ряд
сходится.
Теорема 6 (признак Абеля) Пусть
1)
последовательность
ограничена и монотонна,
2)
ряд
сходится.
Тогда
ряд
сходится.