- •1.Пространство rⁿ
- •2.Метрическое пространство, евклидово пространство.
- •3.Основные или важнейшие множества точек пространства
- •4.Функции n-переменных.
- •5.Сходимость в пространтсве Rn.
- •6.Предел функции нескольких переменных.
- •8.Повторные пределы.
- •9.Непрерывность функции нескольких переменных.
- •10.Непрерывность функции нескольких
- •11. Основрые свойства непрерывных функций нескольких переменных
- •12. Частные производные ф-ии нескольких переменных
- •13. Дифференцируемость ф-ии нескольких переменных
- •14. Дифференциал функции нескольких переменных
- •15. Достаточное условие дифференцируемости ф-ии нескольких переменных
- •16. Дифференцирование сложной ф-ии
- •17. Однородная функция. Теорема эйлера об однородных функциях
- •18. Инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных
- •19. Геометрический смысл дифференциуемости функции двух переменных
- •20. Производная по направлению
- •21.Частные производные высшего порядка.
- •22.Теорема о равенстве смешанных производных второго порядка ф-ции двух переменных.
- •23.Производные высших порядков.
- •26. Экстремум функции многих переменных.
- •27.Достаточные услов локальн экстрем ф-ций нескол перемен.
- •28. Критерий Сильвестра
- •29.Определение наибольшего и наименьшего значения
- •30.Не явные ф-ции.
- •31.Теорема о существ и диф-ти неявной ф-ции.
- •32.Вычисление частных производн неявно заданных ф-ций.
- •33.Неявные ф-ции определ систем функцион уравнений.
- •34. Зависимость ф-и нескольких переменных
- •35.Функциональные матрици
- •36. Усл.Экстремум
- •37.Метод неопредёлённых множетелей Логранжа.
- •38.Числовой ряд. Сходимость, расходимость рядов.
- •39.Необход признак сходим ряда.
- •40. Признак сравнения рядов
- •41.Признак Даламбера.
- •42.Признак Коши.
- •43. Интегральный признак Коши
- •44. Признак Лейбница
- •45. Абсолютная сходимость рядов
- •46. Признаки Дирихле и Абеля
- •47.Функциональные последовательности и ряды.
- •48.Равномерная сходимость функциональных рядов.
- •49.Свойства равном сходящ функции рядов.
- •50.Степенные ряды.
- •53.Ряд Фурье для четн. И нечетн. Ф-ий:
- •54.Ряд Фурье для ф-ций заданных на отрезке .
- •55.Криволинейный интеграл I рода:
- •56.Сведение криволинейного интеграла первого рода к определенному.
- •57.Криволинейный интеграл II рода:
- •59.Случай замкнутого контура:
- •61Cвязьмежду криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода
- •62 Условия независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути интегрирования.
- •63.Признак полоного диф-ла.
- •64.Вычисление криволинейного интеграла через первообразную
- •65Криволинейный интеграл 2-го рода
- •66 Двойной интеграл
- •67Сведение
- •68 Условие существования
- •69 Основные св-ва 2ного интеграла
- •70Замена переменных в двойном интеграле. Общий случай криволинейных координат
- •71. Формула Грина
- •72. Приложения двойных интегралов.
- •74 Определение и свойства тройного интеграла
- •75 Вычисление тройного интеграла.
- •76 Замена переменных в тройном интеграле.
- •77. Многократные интегралы.
- •80.Вычисление площади поверхности
- •85.Скалярное и векторное поля.
- •88.Циркуляция
- •90.Ротор.
- •92.Интеграл Дирихле.
- •93.Признак Дини сходимости тригонометрического ряда Фурье.
- •94.Признаки Дини, Липшица равномерной сходимости рядов Фурье.
- •96. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье.
- •97.Преобразования Фурье
- •98.Cвойства преобразования Фурье.
61Cвязьмежду криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода
Пусть:1) кусочно-гладкая кривая ,лежит в плоскостии задана уравнениями,,гдеинепрерывно дифференцируемые функциина отрезке,,причем,;2) функцииикусочно-непрерывны вдоль кривой;
3) вектор ,единичный касательный векторк кривойв точке,
где иуглы, составляемыес осями координат.Тогда имеет место равенство:
.
Связь криволинейных интегралов 1-го и 2-го рода
Для пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями
, ,,
где ,инепрерывно
дифференцируемые функции на
отрезке ,,
, ,
криволинейный интеграл 2-го рода вводится аналогично плоскому случаю.При этом формула, выражающая связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода имеет
вид:
где ,
единичный касательный вектор
к кривой в точке,
, ,углы, составляемыес
положительными направлениями осей координат, причем направление вектора соответствует
направлению движения от точки к точке.
62 Условия независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути интегрирования.
Плоская область наз односвязной если не имеет дыр. т. е. однородная.Пусть ф-ция P(x,y) и Q(x,y)вместе со своими частными производными непрерывны в некоторой замкнутой, односвязной области тогда следующие 4 условия эквиваленты, т. е. выполнение какого либо из них влечет остальные 3.
1. Для замкнутой кусочногладкой кривой L в значение криволинейного интеграла:
2. Для все т. А и т. В области значение интеграла
не зависит от выбора пути интегрирования, целиком лежащего в .
3. Выражение Pdx+Qdy представляет собой полный дифференциал некоторых функций определенных в существует ф-ция E=(х,у) опред в такая, что dE = Pdx+Pdy
4. В области
Отседова следовает, что условие 3 является необходимым и достаточным условием при котором интегралы 2 рода не зависят от выбора пути интегрирования.
63.Признак полоного диф-ла.
В рассм. обл. Д сущ. и непрерывны частные производные
И, т.к. Pdx+Qdy=dФ,,, то,
Т.к. произв-ая инепрерывны, то. Это соотн.показывает, что для того чтобы Pdx+Qdy было полным
диф-ом необх., чтобы
64.Вычисление криволинейного интеграла через первообразную
Предположим что выражение
представляет собой полный дифференциал
от некоторой однозначной ф-ции Ф(x,y),т.е
. .Рассм. какую-нибудь
кусочно-гладкую кривую AB соединяющую
точки .Пусть
параметрические уравнения кривой K будут:
и при изменении
кривая описывается в направлении
от точки A к точке B,тогда.
Вычисляя криволин. Интеграл получим:
По правилу дифференцирования сложной
функции можно записать:
.Таким образом .
65Криволинейный интеграл 2-го рода
по замкнутому контуру
Если кривая гладкая, а функцииинепрерывны
на кривой , то криволинейный интеграл 2-го рода существует.
Пусть – замкнутая кривая, т. е. точкасовпадает с точкой.
Тогда для нее можно определить два направления обхода от
точки к точке. Направление обхода замкнутой кривой
называется положительным, если область, лежащая внутри
этого контура остается слева по отношению к точке, совершающей
обход (рисунок 1. 3, а). Противоположное направление
называется отрицательным
а |
б) |
Положительно (а) и отрицательно (б) ориентированный контур |
Интеграл по замкнутому контуру
в положительном направлении обозначается как
.