![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Пространство rⁿ
- •2.Метрическое пространство, евклидово пространство.
- •3.Основные или важнейшие множества точек пространства
- •4.Функции n-переменных.
- •5.Сходимость в пространтсве Rn.
- •6.Предел функции нескольких переменных.
- •8.Повторные пределы.
- •9.Непрерывность функции нескольких переменных.
- •10.Непрерывность функции нескольких
- •11. Основрые свойства непрерывных функций нескольких переменных
- •12. Частные производные ф-ии нескольких переменных
- •13. Дифференцируемость ф-ии нескольких переменных
- •14. Дифференциал функции нескольких переменных
- •15. Достаточное условие дифференцируемости ф-ии нескольких переменных
- •16. Дифференцирование сложной ф-ии
- •17. Однородная функция. Теорема эйлера об однородных функциях
- •18. Инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных
- •19. Геометрический смысл дифференциуемости функции двух переменных
- •20. Производная по направлению
- •21.Частные производные высшего порядка.
- •22.Теорема о равенстве смешанных производных второго порядка ф-ции двух переменных.
- •23.Производные высших порядков.
- •26. Экстремум функции многих переменных.
- •27.Достаточные услов локальн экстрем ф-ций нескол перемен.
- •28. Критерий Сильвестра
- •29.Определение наибольшего и наименьшего значения
- •30.Не явные ф-ции.
- •31.Теорема о существ и диф-ти неявной ф-ции.
- •32.Вычисление частных производн неявно заданных ф-ций.
- •33.Неявные ф-ции определ систем функцион уравнений.
- •34. Зависимость ф-и нескольких переменных
- •35.Функциональные матрици
- •36. Усл.Экстремум
- •37.Метод неопредёлённых множетелей Логранжа.
- •38.Числовой ряд. Сходимость, расходимость рядов.
- •39.Необход признак сходим ряда.
- •40. Признак сравнения рядов
- •41.Признак Даламбера.
- •42.Признак Коши.
- •43. Интегральный признак Коши
- •44. Признак Лейбница
- •45. Абсолютная сходимость рядов
- •46. Признаки Дирихле и Абеля
- •47.Функциональные последовательности и ряды.
- •48.Равномерная сходимость функциональных рядов.
- •49.Свойства равном сходящ функции рядов.
- •50.Степенные ряды.
- •53.Ряд Фурье для четн. И нечетн. Ф-ий:
- •54.Ряд Фурье для ф-ций заданных на отрезке .
- •55.Криволинейный интеграл I рода:
- •56.Сведение криволинейного интеграла первого рода к определенному.
- •57.Криволинейный интеграл II рода:
- •59.Случай замкнутого контура:
- •61Cвязьмежду криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода
- •62 Условия независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути интегрирования.
- •63.Признак полоного диф-ла.
- •64.Вычисление криволинейного интеграла через первообразную
- •65Криволинейный интеграл 2-го рода
- •66 Двойной интеграл
- •67Сведение
- •68 Условие существования
- •69 Основные св-ва 2ного интеграла
- •70Замена переменных в двойном интеграле. Общий случай криволинейных координат
- •71. Формула Грина
- •72. Приложения двойных интегралов.
- •74 Определение и свойства тройного интеграла
- •75 Вычисление тройного интеграла.
- •76 Замена переменных в тройном интеграле.
- •77. Многократные интегралы.
- •80.Вычисление площади поверхности
- •85.Скалярное и векторное поля.
- •88.Циркуляция
- •90.Ротор.
- •92.Интеграл Дирихле.
- •93.Признак Дини сходимости тригонометрического ряда Фурье.
- •94.Признаки Дини, Липшица равномерной сходимости рядов Фурье.
- •96. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье.
- •97.Преобразования Фурье
- •98.Cвойства преобразования Фурье.
47.Функциональные последовательности и ряды.
Пусть
на множестве
задана последовательность функций
,принимающих
числовые значения в точках
.
Последовательность
называется поточечно сходящейся к
функции
на множестве
,
если при любом фиксированном
числовая последовательность
сходится к
,
т. е.
:
:
.
Поточечная
сходимость функциональной последовательности
обозначается
,
.
Пусть
,
,
…,
,
… – последовательность функций,
определенных на некотором множестве
.
Ряд,членами
которого являются функции
,
называется функциональным.
Если
ряд
сходится, то
называется точкой сходимости
функционального ряда
.
Множество всех точек сходимости
функционального ряда называется его
областью сходимости.
Для
ряда
конечная сумма
называется
-й
частичной суммой и обозначается
,
а ряд
называется
-м
остатком и обозначается
.Ряд
называется сходящимся поточечно к
функции
на множестве
,
если последовательность его частичных
сумм
сходится к
на
,
т. е.
.
Функция
называется суммой ряда.
Функциональный
ряд
называется абсолютно сходящимся на
множестве
,
если в каждой точке этого множества
сходится ряд
.
48.Равномерная сходимость функциональных рядов.
Функцион
послед
наз равномерно сход к ф-ции f(x) на мн-ве
Х если
N=N(
)
n>N и всех х
Х
выполн нерав:
.
Рассмотр сход на мн-ве Х функц ряд:
для котор Sn(x)=
+un(x), тогда S(x)=
.
Опред: функцион ряд наз равномерн сходящ
на некотор мн-ве, если
равномерн сход на этом мн-ве приним во
вниман определ равном сход функц послед
получим след опред равном сход функцион
ряда: функцион ряд
наз равном сход на мн-ве Х если
N=N(
)
n>N и всех х
Х
выполн нерав:
.
Теор(кретер равном сходим функцион
ряда): функцион ряд
равном сход на мн-ве Х тогда и только
тогда когда
N=N(
)
n>N и всех х
Х
выполн
.
Теор Веерштрасса(достат признак
равномер сход функцион ряда): если члены
функцион ряда
определ на мн-ве Х и по модулю непревосх
соотв членовсходящ числов ряда с полож
членами:
0,
тоесть
,
то этот функцион ряд равном сход на
мн-ве Х. Д-во: если
сход то в соотв с кретер Коши
N=N(
)
n>N такой что
,
n>N илюбого натур p отсюда след что
любые n>N и всех х
:
,
тоесть в соотв с кретерием равном сходим
данный функцион ряд сход равном на
мн-ве Х.
49.Свойства равном сходящ функции рядов.
Теор1:если
ряд
сход равном на мн-ве Х на котором его
члены
непрер то сумма ряда S(x) явл непрер
ф-цией на мн-ве Х. Д-во: зафиксир произв
знач х0
Х,
пусть Sn(x) n-ая частичн сумма данного
ряда, rn(x) –остаток ряда после n-го члена,
тогда S(x)= Sn(x)+ rn(x),
=
+
rn(x)- rn(x0);
поскол ф-ции
непрер на мн-ве Х то и любое х конечн
сумма Sn(x) так же непрер на этом мн-ве.
Задав
можно указ
,
что при
будет выпол нерав:
т.к. ряд сход равном то
N=N(
)
n>N и всех х
Х
выполн нерав:
,
,
это означ что ф-ция S(x) непрер в точке
х0. Теор: пусть дан функцион ряд
если ф-ции
непрер на
и данный ряд сход равном на
тоесть
=S(x),
то ряд получ интегриров членов данного
ряда, так же равном сход на
причем
.
Д-во: пусть
=
;
rn(x)=
пусть
т.к. ряд сход равном то
тогда:
.
Теор: пусть дан ряд
пусть ф-ции
определ на отрез
имеют на нем непрер u’n(x), если на
данный ряд сход равномерн и равном сход
ряд составл из произв
,
то S(x) имеет производн: S’(x)=
это равенство означ, что равномерно
сходящ ряд можно почленно дифференцировать.