![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Пространство rⁿ
- •2.Метрическое пространство, евклидово пространство.
- •3.Основные или важнейшие множества точек пространства
- •4.Функции n-переменных.
- •5.Сходимость в пространтсве Rn.
- •6.Предел функции нескольких переменных.
- •8.Повторные пределы.
- •9.Непрерывность функции нескольких переменных.
- •10.Непрерывность функции нескольких
- •11. Основрые свойства непрерывных функций нескольких переменных
- •12. Частные производные ф-ии нескольких переменных
- •13. Дифференцируемость ф-ии нескольких переменных
- •14. Дифференциал функции нескольких переменных
- •15. Достаточное условие дифференцируемости ф-ии нескольких переменных
- •16. Дифференцирование сложной ф-ии
- •17. Однородная функция. Теорема эйлера об однородных функциях
- •18. Инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных
- •19. Геометрический смысл дифференциуемости функции двух переменных
- •20. Производная по направлению
- •21.Частные производные высшего порядка.
- •22.Теорема о равенстве смешанных производных второго порядка ф-ции двух переменных.
- •23.Производные высших порядков.
- •26. Экстремум функции многих переменных.
- •27.Достаточные услов локальн экстрем ф-ций нескол перемен.
- •28. Критерий Сильвестра
- •29.Определение наибольшего и наименьшего значения
- •30.Не явные ф-ции.
- •31.Теорема о существ и диф-ти неявной ф-ции.
- •32.Вычисление частных производн неявно заданных ф-ций.
- •33.Неявные ф-ции определ систем функцион уравнений.
- •34. Зависимость ф-и нескольких переменных
- •35.Функциональные матрици
- •36. Усл.Экстремум
- •37.Метод неопредёлённых множетелей Логранжа.
- •38.Числовой ряд. Сходимость, расходимость рядов.
- •39.Необход признак сходим ряда.
- •40. Признак сравнения рядов
- •41.Признак Даламбера.
- •42.Признак Коши.
- •43. Интегральный признак Коши
- •44. Признак Лейбница
- •45. Абсолютная сходимость рядов
- •46. Признаки Дирихле и Абеля
- •47.Функциональные последовательности и ряды.
- •48.Равномерная сходимость функциональных рядов.
- •49.Свойства равном сходящ функции рядов.
- •50.Степенные ряды.
- •53.Ряд Фурье для четн. И нечетн. Ф-ий:
- •54.Ряд Фурье для ф-ций заданных на отрезке .
- •55.Криволинейный интеграл I рода:
- •56.Сведение криволинейного интеграла первого рода к определенному.
- •57.Криволинейный интеграл II рода:
- •59.Случай замкнутого контура:
- •61Cвязьмежду криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода
- •62 Условия независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути интегрирования.
- •63.Признак полоного диф-ла.
- •64.Вычисление криволинейного интеграла через первообразную
- •65Криволинейный интеграл 2-го рода
- •66 Двойной интеграл
- •67Сведение
- •68 Условие существования
- •69 Основные св-ва 2ного интеграла
- •70Замена переменных в двойном интеграле. Общий случай криволинейных координат
- •71. Формула Грина
- •72. Приложения двойных интегралов.
- •74 Определение и свойства тройного интеграла
- •75 Вычисление тройного интеграла.
- •76 Замена переменных в тройном интеграле.
- •77. Многократные интегралы.
- •80.Вычисление площади поверхности
- •85.Скалярное и векторное поля.
- •88.Циркуляция
- •90.Ротор.
- •92.Интеграл Дирихле.
- •93.Признак Дини сходимости тригонометрического ряда Фурье.
- •94.Признаки Дини, Липшица равномерной сходимости рядов Фурье.
- •96. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье.
- •97.Преобразования Фурье
- •98.Cвойства преобразования Фурье.
80.Вычисление площади поверхности
Пусть
какая-то часть пов-ти
обладающая
тем
свойством что и
с достаточно малым диаметром
проектирования на касательную плоскость
в любой(.)
этой
части взаимно однозначны. Перенеся
начальную координату в это(.)перейдем
к новым
координатам
.За
плоскость
возьмем
касательную плоскость к поверхности
в(.)М ,за ось
-нормаль
в этой(.).Формулы преобразования примут
вид:
;
;
;
Определитель
равен:
;
;
.Имеются
непрерывные функции 4-х независимых
переменных U,V,
В ОБЛАСТИ
ПРИ
.
Эта
функция принимает вид:
.Таким
образом
.То
есть это и есть площадь поверхности.
№81( Поверх. Инт.1 рода. Вычисление.)
Поверх. Инт. 1 рода предст. Собой обобщение ∫∫(двойн.инт.) как криволин-й Инт. 1рода явл. Обобщением определён. Инт-ла.Пусть в т-ках некот. Двусторонней гладкой поверхности S, ограниченной кусочно-гладким контуром определена ф-ция f(M)=f(x,y,z).Разобъём поверх-ть S с помощью сети произволь-х проведённых кусоч.-глад. Кривых на части S1S2…Sn.
Возьмём
в каждой части
произв. Точку
(
).
Вычислим знач-е ф-ции в этой точке:
f()=f(
).
Умножим
это значение на площадь
соответствующей
части поверх-ти
.
Составим сумму всех таких произведений:
=
=
Эту сумму называют инт. суммой.
(ОПР)Конечный
предел интегральной суммы
при стремлении диаметров всех частей
-х
к 0 наз-ся поверх-м инт-м 1 рода ф-ции
f(x,y,z) по поверх-ти S, т.е. I =
=
Свойства поверхностного интеграла 1-го рода.
Основными свойствами поверхностного интеграла 1 го рода являются:
–
,
где
– площадь поверхности
;
– (линейность)
если
и
— произвольные постоянные числа,
функции
и
интегрируемы на поверхности
,
то функция
также интегрируема на поверхности
и справедливо равенство
;
– (аддитивность)
если поверхность
состоит из двух частей
и
,
,
а пересечение
и
состоит лишь из границы, их разделяющей,
и функция
интегрируема на
и
,
то функция
также интегрируема на поверхности
и справедлива формула:
;
– (монотонность)
если на поверхности
выполнено неравенство
,
то
;
– (оценка
интеграла)
;
– (теорема
о среднем) если
непрерывна на поверхности
,
то на этой поверхности существует такая
точка
,
что
,
где
– площадь поверхности
.
Вычисление:
Для
сведения пов. инт-ла 1 рода к ∫∫ нужно
заменить корд-ты x,y,z их выражениями
через параметры U и,
а элемент площади ds его выражением в
криволин-х коорд-х.
пусть
1)(параметрич
задание),
тогда
,
где
,
,
.
2)Если поверх-ть S задана явным ур-ем Z=f(x,y),то
=
,D-проекция
плоск-ти S на плоск-ть xy
3)(неявное
задание)F(x,y,z)=0
,
;
ds=
dxdy
Приложения:
С помощью поверх инт 1 рода можно определять массы, моменты, коорд-ты центров тяжести для материаль-х поверхностей, вдоль которых распределены массы с единств. в каждой точке поверх-ти плоскостью.
Пусть
вдоль поверх-ти S распределена масса
с плотностью
,
Тогда масса всей поверх-ти:
m=статические
моменты:
Коорд-ты центра тяж-ти масс:
=
xc =Myz/m yc=Mzx/m zc=Mxy/m
=
=
№82( Поверх. Инт.2 рода. Вычисление.)
(ОПР)
Конечный предел интегральной суммы
=
при стремлении диаметров всех частей
-х
к 0 наз-ся поверх-м инт-м 2 рода от ф-ции
f(x,y,z) распространённым на выбранную
сторону поверх-ти S ,т.е. . I =
=
,
где dxdy указывает на площадь проекции
элем-та поверх-ти на плоск-ть xy.На плоск
yz и zx соответственно
,
.
Общий
инт. 2рода – сумма 3-х част-х поверх-х
инт-лов 2рода, т.е.,
P,Q,R ф-ции определён-е в точках поверх-ти
S Свойства поверхностного интеграла
2-го рода. Поверхностный интеграл 2-го
рода обладает следующими свойствами:–
для общего поверхностного интеграла
2-го рода справедливо равенство:
;
– (линейность)
если
и
— произвольные постоянные числа,
функции
и
интегрируемы по выбранной стороне
поверхности
,
то функция
также интегрируема по выбранной стороне
поверхности
и справедливо равенство:
;
– (аддитивность)
если поверхность
,
из двух частей
и
,
,
а пересечение
и
состоит лишь из границы, их разделяющей,
и функция
интегрируема по выбранным сторонам
и
,
то функция
также интегрируема по выбранной стороне
поверхности
и справедлива формула
;
– (оценка
интеграла) если функции
,
,
интегрируемы по выбранной стороне
двусторонней поверхности
и
во всех точках поверхности, то
где
– площадь поверхности;
– (ориентированность)
если
противоположная сторона к стороне
поверхности
,
то
.
Вычисление:
Если инт-л берётся по верх. стороне
поверх-ти, то
сводится к инт-лу
1),
т.е
=
Если
инт-л берётся по ниж. . стороне поверх-ти,
то
сводится к инт-лу
,
т.е.
=
2) явно
=(P,Q,R),
=(
),
=(
-
),при
<
(
), при
>
=
=
ds=
dxdy
№83 Формула Стокса
Формула Стокса устанавливает связь между поверхностными интегралами и криволинейными интегралами.
Теорема. Пусть
1)
–элементар-я
относит-но оси
поверх-ть, заданная ур-ем
,
где ф-ции
,
,
– непрерывны в замкнутой обл.
,
проекции
на
;
2)
–контур,
огранич-щий область
,
–его
проекция на плоскость
,
являющаяся контуром, ограничивающим
область
;
3)
ф-ции
,
,
непрерывны вместе со своими част.
производными первого порядка на
выбранной стороне поверхности
.
Тогда имеет место формула Стокса
|
Следствие. Если
,
,
,
то
1)
;
2)
подынтегральное выражение представляет
собой полный дифференциал некоторой
функции
,
для которой:
.
Формула Стокса справедлива для любой области, которую можно разбить на конечное число элементарных областей указанного вида.
Учитывая,
что
,
,
,
формулу Стокса можно записать в виде:
№84
Формула Гаусса –Остроградского
Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между поверхностными интегралами 2-го рода по замкнутой поверхности и тройными интегралами по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.
Теорема 1 Пусть
1)
– элементарная относительно оси
замкнутая область, ограниченная
поверхностью
;
2) функции
,
,
непрерывны вместе со своими частными
производными первого порядка в области
.
Тогда справедлива формула Остроградского-Гаусса
Формула
Остроградского-Гаусса справедлива для
любой области
,
которую можно разбить на конечное число
элементарных областей. Также формулу
Остроградского-Гаусса можно использовать
для вычисления поверхностных интегралов
2-го рода по замкнутым поверхностям.Для
вычисления объема тела, ограниченного
замкнутой поверхностью
,
используется формула: