![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Пространство rⁿ
- •2.Метрическое пространство, евклидово пространство.
- •3.Основные или важнейшие множества точек пространства
- •4.Функции n-переменных.
- •5.Сходимость в пространтсве Rn.
- •6.Предел функции нескольких переменных.
- •8.Повторные пределы.
- •9.Непрерывность функции нескольких переменных.
- •10.Непрерывность функции нескольких
- •11. Основрые свойства непрерывных функций нескольких переменных
- •12. Частные производные ф-ии нескольких переменных
- •13. Дифференцируемость ф-ии нескольких переменных
- •14. Дифференциал функции нескольких переменных
- •15. Достаточное условие дифференцируемости ф-ии нескольких переменных
- •16. Дифференцирование сложной ф-ии
- •17. Однородная функция. Теорема эйлера об однородных функциях
- •18. Инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных
- •19. Геометрический смысл дифференциуемости функции двух переменных
- •20. Производная по направлению
- •21.Частные производные высшего порядка.
- •22.Теорема о равенстве смешанных производных второго порядка ф-ции двух переменных.
- •23.Производные высших порядков.
- •26. Экстремум функции многих переменных.
- •27.Достаточные услов локальн экстрем ф-ций нескол перемен.
- •28. Критерий Сильвестра
- •29.Определение наибольшего и наименьшего значения
- •30.Не явные ф-ции.
- •31.Теорема о существ и диф-ти неявной ф-ции.
- •32.Вычисление частных производн неявно заданных ф-ций.
- •33.Неявные ф-ции определ систем функцион уравнений.
- •34. Зависимость ф-и нескольких переменных
- •35.Функциональные матрици
- •36. Усл.Экстремум
- •37.Метод неопредёлённых множетелей Логранжа.
- •38.Числовой ряд. Сходимость, расходимость рядов.
- •39.Необход признак сходим ряда.
- •40. Признак сравнения рядов
- •41.Признак Даламбера.
- •42.Признак Коши.
- •43. Интегральный признак Коши
- •44. Признак Лейбница
- •45. Абсолютная сходимость рядов
- •46. Признаки Дирихле и Абеля
- •47.Функциональные последовательности и ряды.
- •48.Равномерная сходимость функциональных рядов.
- •49.Свойства равном сходящ функции рядов.
- •50.Степенные ряды.
- •53.Ряд Фурье для четн. И нечетн. Ф-ий:
- •54.Ряд Фурье для ф-ций заданных на отрезке .
- •55.Криволинейный интеграл I рода:
- •56.Сведение криволинейного интеграла первого рода к определенному.
- •57.Криволинейный интеграл II рода:
- •59.Случай замкнутого контура:
- •61Cвязьмежду криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода
- •62 Условия независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути интегрирования.
- •63.Признак полоного диф-ла.
- •64.Вычисление криволинейного интеграла через первообразную
- •65Криволинейный интеграл 2-го рода
- •66 Двойной интеграл
- •67Сведение
- •68 Условие существования
- •69 Основные св-ва 2ного интеграла
- •70Замена переменных в двойном интеграле. Общий случай криволинейных координат
- •71. Формула Грина
- •72. Приложения двойных интегралов.
- •74 Определение и свойства тройного интеграла
- •75 Вычисление тройного интеграла.
- •76 Замена переменных в тройном интеграле.
- •77. Многократные интегралы.
- •80.Вычисление площади поверхности
- •85.Скалярное и векторное поля.
- •88.Циркуляция
- •90.Ротор.
- •92.Интеграл Дирихле.
- •93.Признак Дини сходимости тригонометрического ряда Фурье.
- •94.Признаки Дини, Липшица равномерной сходимости рядов Фурье.
- •96. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье.
- •97.Преобразования Фурье
- •98.Cвойства преобразования Фурье.
4.Функции n-переменных.
Если каждой точки М из множ. {М} точек n-мерного евклидового пространства Rⁿ ставятся в соответствие по известному закону некоторое число U, то говорят ,что на множ. {М} задана функция U=f(М). Множ. {М} наз. областью задания функции U=f(М). число U соотв. данной точки М из множ. {М} наз. частным значениям функции в точке М.Совокупность всех частных значений функции наз. множ .значений этой функции т.к. точка М(х₁х₂…хn) то для функции U=f(М) используется обозначение U=f(х₁х₂…хn). Функцию n-переменных можно рассматривать как отображение некоторого множ. в простр. Rⁿ в некоторое множ. действит. чисел
5.Сходимость в пространтсве Rn.
ОРП
Последовательность
{Мn} точек евклидового пространства
наз. сходящейся если сущ. точка А этого
пространства такая, что для любого ε
>0 можно указать N-номер что при всех
n>N выполняется неравенство: ρ(МnА)<ε,
при этом точка А наз. пределом последоват.
{Мn} и обозначается
ОРП
последоват. {Мn} точек пространства
наз. фундаментальной или последовательностью
Коши, если для любого ε >0 сущ. N, что
при n>N и любого m≥0
выполняется неравенство ρ(
Mn)<ε
ОРП для того
чтобы последоват. {Мn} точек пространства
была сходящейся необходимо и достаточно,
чтобы она была фундаментальной.
6.Предел функции нескольких переменных.
По-Гейне:
число в наз. пределом функции U=f(М) в
точке А, если для любой сходящийся к А
последоват. {}
точек множ.{М} все элементы
,
которой отлич. от А соответствует
числовая послед. значений функции
{f(
)}
сходящейся к числу В. по-Коши : число в
наз. пределом функции U=f(М) в точке А,
если для любогоε
>0 найдется отвечающее ему число δ>0
такое, что для любой точки М из
множ.{М} удовлетвор. условию 0<
ρ(МnА)<δ выполнялось неравенство /
f(М)-в/<δ
7.Критерий
Коши существования предела функции
нескольких переменных. Опр-е(предел
ф-ции в т.А по Коши):
Число b
наз-ся пределом ф-ции u=f(M)
в т.А если для любого ε>0 найдется
отвечающее ему число δ>0 такое что
для любой т.М из мн-ва
удовл. условию 0<ρ(M,A)<
δ вып. нер-во:
Опр-е: Говорят,
что ф-ция u=f(M)
удовл. условию Коши в т. М=А, если для
любого ε>0 найдется δ= δ(ε) >0, такое
что для любых точек М’,M’’
из множества задания ф-ции удовл.
условиям: 0<ρ(M’,A)<
δ, 0<ρ(M”,A)<
δ. Справедливо нер-во
Теорема(Критерий
Коши): Для
того чтобы ф-ция u=f(M)
имела конечны предел в т. М=А необходимо
и достаточно чтобы эта ф-ция удовлетворяла
в т. М=А условию Коши.
8.Повторные пределы.
Пусть
функция U=f(х,у) задана в некоторой
прямоугольной плоскости /х-х₀/<α₁
,/у-у₀/<α₂ в точке М₀( х₀, у₀), за искл.
быть может самой точки х₀. Пусть для
каждого фиксированного у удовлетвор.
условию 0</у-у₀/<d₂
сущ.
одной переменой х точки х=х₀ сущ.
.
Пусть сущ. предел функции
)
в точке у=у₀ т.е.
В этом случае говорят, что сущ. повторный
предел для функции
U=f(х,у) в точке М₀ который обозначается
.
Аналогично
9.Непрерывность функции нескольких переменных.
Рассмотрим
функцию U=f(М)= f(х₁х₂..хn) заданной на
некотором множ. {М} пространства Rⁿ.
Пусть А-некоторая точка пространства
Rⁿ
принадлеж. множ. {М} и такая, что в любой
δ-окрестности точки А содержит точки
множ. {М} т.е А-предельная точка множ.
{М}ОПР
функция U=f(М)наз. непрерывной в точке
А, если
ОПР по-Гейне:
функция U=f(М)наз непрерывной в точке А,
если для любой сходящейся к точке А
последоват. {
}точек
множ. {М} соответствует числовая послед{f(
)}
значения этой функции сходятся к числу
ОПР
по-Коши:
функция U=f(М)наз. непрерывной в точке
А, если для любого ε
>0 сущ. δ= δ(ε)>0 такое что для любой
точки М из множества определений этой
функции удовлетвор. условию ρ(М,А)<δ
справедливо неравенство /
ОПР
функция U=f(М) определенная на множ. {М}
наз. непрерывной на этом множестве,
если она непрерывна в каждой точке
этого множества.