20. Производная по направлению

Для простоты рассмотрим ф-ию 3-х переменных . Предположим, что эта ф-ия определена в некоторой окрестности точкипространстваи дифференцируема в точке. рассмотрим всевозможные лучи, выходящие из точки. каждый такой луч задает единственный вектори определяет некоторое направление. Зафиксируем некоторый луч, выходящий из точкии определяющий некоторое направление, заданное вектором. Возьмем на прямой, содержащей этот луч производную отличную от точкиточкуи рассмотрим вектор. Пустьдлина этого вектора. Т.к. векторимеет коор-тыс одной стороны и коор-ты (), то получим,,, ,,

Эти рав-ва показывают, что на прямой, проходящей через точку и определенной единичным векторомф-ияпредставляет собой сложную ф-ию одной независимой переменнойвида, ,,)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная указанной сложной ф-ии по переменной , взятая в точкеназ производной ф-иипо направлению, определяемому единичным вектороми обозначается

21.Частные производные высшего порядка.

Пусть задана функция 2х переменных z=f(x,y),найдем ее частные производные.

z/x=fx(x,y)

z/y=fy(x,y)

В общем случае, эти производные также являются функциями 2х и можно искать их частные производные. При этом получаем часные производные 2-ого и более порядков.Производные, в которых дифференцирование производится по разным переменным, называются смешанными.

Теорема: О независимости часных производных от порядка (последовательности) дифференцирования.

Две смешанные частные роизводные одного порядка, отличающиеся только порядком диф-я равны.

2z/xy=2z/yx - в следствии этого, при обозначении смешанных частных производных последовательность диф-я не указывается.

nz/xn-2y2

22.Теорема о равенстве смешанных производных второго порядка ф-ции двух переменных.

т.о. понят частн производ n-порядка ввод по идукции, переходя от первой частн произв к последующим,соотнош определ частн произв n-го порядка по x1i,x2i…xn-1i имеет вид:если не все индексы i1,i2…in совпад между собой, то частн производ n-го порядка наз смешанной производ n-го порядка. Замач: т.к. частн произв ф-ции u по аргум xi опрел как обыкнов произв ф-ции одной перемен xi, при фиксир знач остал перемен,то вычисл частн произв высших поряд производится по правилам вычисл обыкнов произв первого порядка. Опред: ф-ция u= f(x1,x2…xn) наз n-раз дифференц в точке М0,…) если все её частн произв порядка n-1 явл дифференц в этой точке ф-циями. Из определ след, что если u= f(x1,x2…xn) n-раз дифференц в М0, то при n>1её частн произв первого порядка n-1-раз дифференц в точке М0, при n>2 любая её частная произв второго порядека n-2 раза диференц в точке М0 и т.д. Теор: для того что бы ф=ция u= f(x1,x2…xn) была n-раз дифференц в М0, достат чтобы все её частн производн n-порядка были непрерыв в точке М0. Теор: пусть ф-ция u=f(x,y) дважды дифференц в точке М0(х0,y0), тогда в этой точке частн произв:равны между собой.Данная теорем утверж,что М0(х0,y0), имеет месть рав:, если в этой точке дифференц ф-ции:однако указан равенство имеет место и при услов сущ произ:;; но при дополнит требов непрер этих произ в указанной точке. Теор:пусть в некотор окрестн точки М0(х0,y0) ф-ции u=f(x,y) имеет: u’x,u’y, uxy”, u”yx, пусть произв : uxy”, u”yx, непрер в М0, тогда в этой точке: : uxy”= u”yx,. Теор: пусть ф-ция u= f(x1,x2…xn) n-раз дифферен в точке М0,…) тогда в этой точке знач любой смешан частной произв n-го рорядка не зав от того в каком порядке производится последов диференц. Замеч: в случае n-раз диференц ф-ции u= f(x1,x2…xn) любую частн производ n-порядка, можно запис виде:, где1,2….n-целые числаудовл услов:=n.