50.Степенные ряды.

Опред: степенным рядом наз функционал ряд вида:где- действ числа, которые наз каэф ряда степен рядом так же ряд: :Теор Абеля:если степенн рядсходит при некотор знач0 то он абсал сход при любом х для которогоД-во: по услов ряд- сходит поэтому по необход признаку сходим:, поэтому существ число C>0 что для всех n выполн нерав :<c;n<cn рядn – сходит при<1 поэтом абсал сход и данный ряд при обсал велич. Следствие: если степен рядрассход при х1 то он расход и при любом х для которИз теор Абеля след что если степен ряд сход при0 то он сход приесли он расход при х=х1 то он расход при x<; x>. Определ: радиусом сходим степен ряданаз число R токое что приряд сход, а приряд расход. Интервалом сходим ряданаз интервал (-R;R) где R- радиус сходим ряда; если степен рядсход в единств точке то считает R=0, если он сход при любом х, то полог R=. Найд выраж радиуса сходим степен ряда через его каэф для этого примен признак Даламбера к исслед сходим ряда:предпол что an0=, тогда=ряд сходится прии расход при, тоесть R-радиус сходим т.о. радиус сходим степенного ряда определ выраж:R=, если этот придел сущ. Предпол что сущприменяя признак Коши получ:ряд сход еслиследов радиус сход: R=. Свойств степенных рядов:1) степен рядсходит равном на отрезкецеликом принадл его интервалу сходим; 2) сумма степен ряда явл непрер ф-цией на любом отрезке целиком пренадл его интервалу сходим; 3) степен ряд можно почленно интегрир по любому отрезку целик пренадл его интервалу сходим; 4) если степен рядимеет интерв (-R;R) и S(x) его сумма то рядполучен почлен дифференц исходного ряда имеет тот же интерв сход при чем любое х(-R;R): S’(x)=; 5) степен ряд можно почлен диференц любое число раз в интерв его сходим. Разлож некотор ф-ций в степен ряды: рассм ряд=1+х+х2+… этот ряд явл геом прогресс и сход при -1<x<1 сумма: S(x)=эта ф-ла представл собой разлож в степен ряд ф-ции: f(x)=радиус сход R=1. Если вместо х подстав –ч то получ разлож в степн ряд ф-уи:f(x)=1-x+x2-x3…интерг этот ряд по отр:получ:, при х=1 этот ряд сход т.к. ln(1+1)=ln2=1-при замене х на –х получ: ln(1-x)=-x--ряд сход при.

51.Ряд Тейлора:

Пусть ф-ия имеет в окр-ти точкипроизводные любого порядка. Ряд

Наз-ся рядом Тейлора ф-ии в точке.Если, то ряд Тейлора имеет види наз-ся рядом Маклорена.

52. Тригонометрический ряд Фурье:

Пусть () – ортогональная система функций в.Выр-ие. Наз-ся обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе ф-ий (). Если () – основная тригоном-ая система ф-ий, то ряд наз-ся тригоном.рядом Фурье.

53.Ряд Фурье для четн. И нечетн. Ф-ий:

Четн. ф-ия:.Коэф-ты ряда Фурье,,,,а сам ряд Фурье.Нечетн.ф-ия:.Коэф-ты ряда Фурье,,,

,а сам ряд Фурье

54.Ряд Фурье для ф-ций заданных на отрезке .

Расмотр f(x) определенную и кусочно-диференцируемую на . Введем новую переменную: t=, тогда x=. Если xто tи тогда получаем ф-цию: f(x)=f()=для этой ф-ции в точках непрерывности, где an=; возращаясь к перемен х получим: f(x)=(*); где каэф an; bn определ по формулам: an=. То есть для ф-ции заданной нан отрезкеразложение в ряд Фурье имеет вид (*) с каэф определяемыми выражение (**).