2.4 Связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом

Найдем связь между напряженностью электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом – энергетической характеристикой поля

;

Работа по перемещению единичного заряда из одной точки в другую, вдоль оси xпри условии, что точки расположены бесконечно близко и

x₂–x₁=dx, равна:

,

,

,

,

где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование производится только по оси x.

Повторив аналогичные рассуждения для осей yиzможно записать

,

,

тогда

или

т.е. напряженность поля равна градиенту потенциала со знаком «». Знак «» определяется тем, что векторполя направлен в сторону убывания потенциала.

;

2.5Диполь. Диполь во внешнем поле

Диполь – система двух одинаковых по величине разноименных точечных зарядов. При этом расстояние lмежду зарядами меньше расстояния до рассматриваемых точек поля (l << r)

Прямая, проходящая через заряды – ось диполя. Вектор, направленный по оси диполя от отрицательного к положительному и равный расстоянию между ними называется плечом диполя ;

Рис.5.

,

,

;

;

Вектор называется электрический момент диполя или дипольный момент.

Поместим диполь во внешнее электрическое поле

Рис.6

Однородное внешнее электрическое поле создает вращающий момент

;

;

Момент сил поворачивает диполь так, чтобы его электрический момент установился по направлению поля.

Энергия диполя

;

;

; ;

;

;

.

2.6 Поле системы зарядов на больших расстояниях

Система Nзарядов в объеме с линейным размеромl. Точка наблюдения на расстоянииr>>l.

Рис.7

;

;

;

1. 2

1 – потенциал заряда ;

2 – потенциал поля диполя

- дипольный электрический момент системы зарядов.

3 Описание свойств векторных полей

3.1 Поток вектора

3.2 Дивергенция

3.3 Теорема Остроградского-Гаусса

3.4 Циркуляция

3.5 Ротор

3.6 Теорема Стокса

3.7 Циркуляция и ротор электростатического поля

3.8 Теорема Гаусса

3.1 Поток вектора.

Объем жидкости, протекающей в единицу времени через некоторую поверхность S, называется потоком через эту поверхность:

Рис.8

Поток:

- вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормалиnк площадкеможно направить в любую сторону.

Тогда поток:

,

где V_n– проекция на нормаль

Геометрическая интерпретация

Построим силовые линии поля (густота= модулю).

Рис.9

Из

Просуммировав по выбранной поверхности

,

где - полное число положительных пересечений,- отрицательных пересечений.

Для замкнутой поверхности выходящие линии с “+”, входящие с “-“ (положительна внешняя нормаль).

Если линии через замкнутую поверхность непрерывны, то поток равен нулю. Каждая линия входит и выходит, если есть обрывы ,то поток