Лекция 2 электростатика

2.1. Понятие о потоке вектора и его дивергенции. Теорема Остроградского-Гаусса. Теорема Гаусса для вектора е в дифференциальной и интегральной форме.

По определению потоком векторного поля через площадкуназывается величина

Если поле неоднородно или поверхность, через которую вычисляется поток, не является плоской, то определение потока нужно применить кбесконечно малому элементу поверхности, а именно, записать: Тогда поток через всю поверхностьS будет:

где .

Заметим, что поток – величина алгебраическая. Знак потока зависит от выбора направления нормали к элементарным площадкам, на которые разбивается поверхность S при вычислении Ф_Е. Изменение направления нормали на противоположное изменит знак E_n, а значит и знак потока Ф_Е. В случае замкнутых поверхностей принято считать знак потока положительным, если силовые линии поля выходят из охватываемой области наружу. Численно поток равен количеству силовых линий, пресекающих данную поверхность. Размерность потока в СИ: [Ф_Е] = В·м (отметим, что она совпадает с размерностью величины q/ε_о).

Окружим точечный зарядq замкнутой сферической поверхностью радиуса r и вычислим поток электрического поля точечного заряда через эту поверхность.

По определению имеем: ,

где - напряженность электрического поля в направлении внешней нормали,;- элемент поверхности,,- элемент телесного угла.

Вычисляем:

Мы видим, что полученный результат не зависит от формы и размеров выбранной поверхности. Это очевидно, поскольку поток численно равен количеству силовых линий, пересекающих данную поверхность, и в случае выбора замкнутой поверхности любой другой формы он не изменится, так как силовые линии нигде не прерываются.

Если внутри замкнутой поверхности имеется несколько зарядов, то поток их результирующего поля, согласно принципу суперпозиции, будет равен:

В частности, если система зарядов находится вне выбранной поверхности (рис. 5) или алгебраическая сумма всех зарядов, заключенных под поверхностью, равна нулю, то поток .

Доказанная выше теорема, носит название теоремы Гаусса (Gauss C., 1777–1855). Полная ее формулировка звучит так: поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности (деленной на ):

Отметим, что теорема Гаусса является прямым следствием закона Кулона и является одной из основных теорем электростатики.

В ряде случаев теорема Гаусса позволяет найти напряженность электрического поля протяженных заряженных тел, не прибегая к вычислению громоздких интегралов. Обычно это относится к телам, чья геометрическая форма обладает определенными элементами симметрии (шар, цилиндр, плоскость).

Например. Напряженность электрического поля равномерно заряженной плоскости

.

Напряженность электрического поля равномерно заряженной нити:

.

2.2. Электрическое поле в диэлектриках.

В соответствии с принципом суперпозиции электрическое поле в диэлектрике векторно складывается из внешнего поля и поля поляризационных зарядов.

или по абсолютной величине

Мы видим, что величина напряженности поля в диэлектрике меньше, чем вакууме. Другими словами, любой диэлектрикослабляет внешнее электрическое поле.

Индукция электрического поля , где,, то есть.

С другой стороны, , откуда находим, чтоε₀Е₀ = ε₀εЕ и, следовательно, напряженность электрического поля в изотропном диэлектрике есть:

Эта формула раскрывает физический смысл диэлектрической проницаемости и показывает, что напряженность электрического поля в диэлектрике в разменьше, чем в вакууме. Отсюда следует простое правило: чтобы написать формулы электростатики в диэлектрике, надо в соответствующих формулах электростатики вакуума рядом с приписать.

В частности, закон Кулона в скалярной форме запишется в виде: