1.4.Обратная матрица

В пункте 2 мы дали определение обратной матрицы А^–1 для заданной квадратной матрицы А: обратной называют матрицу А^–1, удовлетворяющую условию А^–1А = АА^–1 = Е, (1)

Для всякой ли квадратной матрицы существует обратная и единственна ли она? На эти вопросы отвечает следующая теорема:

Теорема 1.1.

Квадратная матрица А = (а_ij)_п´п имеет обратную тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы отличен от нуля. При этом обратная матрица А^–1 единственна и имеет вид

А^–1 = , (2)

где |A| – определитель матрицы А, A_ij –алгебраические дополнения элементов а_ij матрицы А (i,j = 1,2,…,n).

Доказательство:1) Покажем сначала, что матрица вида (2) удовлетворяет равенству (1). Имеем

АА^–1 = =

=

(здесь использовано свойство 7 определителей)

= = Е.

Аналогично можно показать и равенство А^–1А = Е. Следовательно, матрица вида (2) есть обратная к А по определению и, очевидно, она существует, если |A|  0.

2) Покажем, что обратная матрица вида (2) – единственная, которая условиям (1) удовлетворяет.

Предположим, что существует еще одна матрица – В, для которой справедливо равенство (1): АВ = ВА = Е. Умножим обе части равенства АВ = Е на А^–1 слева, получим

А^–1АВ = А^–1Е  (А^–1А)В = А^–1  ЕВ = А^–1  В = А^–1,

т.е. рассмотренная матрица В совпадает с обратной матрицей А^–1 вида (2). Следовательно, обратная для заданной квадратной матрицы – единственная. ЧТД.

Из теоремы 3.1 следует алгоритм отыскания обратной матрицы:

1. Вычислить определитель |A| заданной матрицы А . |A|  0, переходим к пункту 2, если же |A| = 0, то обратной матрицы для заданной не существует.

2. Вычислить алгебраические дополнения А_ij всех элементов матрицы А и составить из них матрицу

А_п = – эта матрица называетсяприсоединенной к матрице А.

3. Транспонировать присоединенную матрицу А_п и умножить на число . В результате получится матрица А^–1.

Отметим свойства обратных матриц:

1. (АВ)^–1 = В^–1А^–1;

2. (А^–1)^–1 = А;

3. (А^т)^–1 = (А^–1)^т;

4. |A^–1| = |A|^–1= .

5. Матрица, обратная для невырожденной симметрической матрицы есть симметрическая матрица; обратная для кососимметрической матрицы есть кососимметрическая матрица.

Матрицу А, для которой А^–1 = А^т, называют ортогональной. Обратная для ортогональной матрицы является ортогональной матрицей.

С помощью обратной матрицы можно решать матричные уравнения вида

АХ = В и ХА = В,

где А – невырожденная квадратная матрица.

Умножая первое уравнение на А^–1 слева, а второе – на А^–1 справа, получают решение этих уравнений в виде

Х = А^–1В и Х = ВА^–1

соответственно.

Замечание.

Для невырожденной матрицы второго порядка А = обратная матрица имеет вид А^–1= .

Отсюда следует правило:

«Чтобы для матрицы А второго порядка записать обратную матрицу, нужно

1. элементы главной диагонали поменять местами;

2. у элементов второстепенной диагонали поменять знаки;

3. полученную матрицу умножить на число ».

Тема 2 . Системы линейных уравнений (слу)

2.1.Основные определения и понятия

Совокупность уравнений вида

(1),

называется системой т линейных уравнений с п неизвестными. Здесь а_ij – коэффициенты при неизвестных, х_i – неизвестные, b_j – свободные члены системы (i = 1,2,…, n, j = 1,2,…, m).

Если из коэффициентов системы составить матрицы:

–основную матрицу системы,

Х = – матрицу-столбец неизвестных,

В = – матрицу-столбец свободных членов,

то система (1) может быть записана в виде равносильного ей матричного уравнения АХ = В.

Наряду с перечисленными матрицами для СЛУ (1) рассматривают матрицу

,

которую называют расширенной матрицей системы.

Определение 2.1.

Решением системы (1) называется упорядоченная совокупность п действительных чисел ₁, ₂, ..., _п, при подстановке которых вместо х₁, х₂,…, х_n соответственно, каждое уравнение этой системы обращается в верное равенство.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, в противном случае система несовместна.

Если система линейных уравнений имеет единственное решение, то её называют определённой, если совместная система имеет более одного решения, то её называют неопределённой.

Исследоватьсистему – значит, выяснить

1) является ли эта система совместной?

2) если система совместна, сколько решений она имеет (т.е. определенная система или неопределенная)?

Решить систему – значит, исследовать ее и в случае совместности найти все решения этой системы.

С помощью перечисленных выше матриц можно исследовать и решать заданную СЛУ.

Рассмотрим частные виды СЛУ.