1.3. Определители, их свойства

Каждой квадратной матрице с элементами из числового поля можно поставить в соответствие обобщенную числовую характеристику – определитель.

Определение 1.2.

Определителем второго порядка называется число

.

Определителем третьего порядка называется число

Таким образом, матрице А = второго порядка ставится в соответствие число |A| = , которое является определителем этой матрицы. Аналогично, для матрицы третьего порядка А = рассматривается ее определитель |A| = . Наряду с обозначение |A| используется обозначение detA.

Для матрицы А = (а₁₁) первого порядка определителем является, очевидно, само число а₁₁: |A| = а_11.

Если вычисление определителя первого и второго порядка не составляет труда непосредственно с помощью определения, то определитель третьего порядка вычислять по определению затруднительно. Поэтому используют различные методы вычисления. Рассмотрим их.

1. «правило треугольника», которое можно описать с помощью следующей схемы:

S₁

S₂

Рисунок 1- Правило треугольника

Согласно этой схеме, от суммы S₁ произведений соединенных между собой по три элементов фигуры 1 нужно отнять сумму S₂ произведений соединенных элементов фигуры 2.

2) правило Саррюса, суть которого в следующем:

• справа от определителя выписать первый и второй столбцы этого определителя;

• затем от суммы S₁ произведений элементов, стоящих на главной диагонали и параллельных ей направлениях, отнять сумму S₂ произведений элементов, стоящих на побочной диагонали (идущей из правого верхнего угла в левый нижний) и ее параллелях:

,

Еще раз подчеркнем, что эти способы вычисления применимы только для определителя третьего порядка.

Рассмотрим пример. Вычислим определитель, используя правило треугольника

.

Вычислим тот же определитель по правилу Саррюса

= (1^.(–1)^.7 +2^.4^.5 + 3^.0^.6) – (5^.(–1)^.3 +6^.4^.1 +7^.0^.2) =

= (–7 + 40 + 0) – (–15 + 24 + 0) = 33 – 9 = 24.

Заметьте, что получили не только точно такой же результат, что и по правилу треугольника, но и оперировали такими же суммами произведений элементов определителя, что и по правилу треугольника, разве что записанными в другом порядке.

Понятие определителя п-го порядка введем индуктивно, считая введенным понятие определителя (п–1) –го порядка.

Определение 1.3.

Алгебраическим дополнением элемента а_ij квадратной матрицы А = (а_ij) называется умноженный на (–1)^i+j определитель, составленный из элементов матрицы А, оставшихся после вычеркивания i-й строки и j-го столбца матрицы. Обозначается алгебраическое дополнение А_ij.

Например, для матрицы А = имеем:А₁₁ = 5, А₁₂ = –4, а для матрицы А = получим, например, А₂₃ = – , илиА₃₁ = .

Определение 1.4.

Определителем п – го порядка называется число

= а₁₁^.А₁₁ + а₁₂^.А₁₂ + ... + а_1п^.А_1п, (*)

где А_1j (j = 1, 2, …, n) – алгебраические дополнения элементов первой строки определителя.

Правую часть равенства (*) называют разложением определителя по первой строке.

Таким образом, для матрицы А порядка п определитель равен

|A| = .

Например,

Свойства определителей:

1. |A^т| = |A|.

2. Определитель изменит знак, если поменять местами любые две строки или любые два его столбца.

3. Определитель равен нулю, если он имеет две пропорциональные строки, или два пропорциональных столбца. В частности, если две строки или два столбца определителя равны, то этот определитель равен 0.

4. Общий множитель элементов строки (или столбца) можно выносить за знак определителя. В частности, если все элементы строки (или столбца) равны нулю, то и определитель равен нулю.

5. Если каждый элемент строки (столбца) определителя равен сумме двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в одном из которых указанная строка (столбец) состоит из первых слагаемых, а в другом – из вторых. Остальные строки этих определителей те же, что и в исходном определителе:

6. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель.

7. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения: |A| = , (i = 1, 2, …, п). Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам другой строки (другого столбца) равна нулю: = 0,k  j.

8. Определитель треугольной матрицы (у которой под главной диагональю или над ней стоят все 0) равен произведению диагональных элементов:

= а₁₁^. а₂₂^. а₃₃^. …^. а_пп. Такой определитель называют определителем треугольного вида.

Учитывая свойство 7, определитель можно вычислять, не только разлагая его по первой строке, но и по любой другой строке или столбцу.

Например, в рассмотренном выше определителе вычисление удобнее проводить, разлагая по четвертому столбцу или, по третьей или четвертой строке:

.

Используя свойство 6, определитель можно преобразовать к треугольному виду, а затем вычислить, используя свойство 8.

Отметим еще несколько свойств определителей:

1. |AB| = |A|^.|B|

2. |E| = 1

3. |A| =ⁿ|A|, A_nn

4. |A + B| |A| + |B|.

Докажите эти свойства!

Матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной. Если |A| = 0, то матрица А – вырожденная.

Дадим еще одно определение, необходимое нам в дальнейшем

Определение 1.5.

Всякий определитель, составленный из элементов заданной матрицы А, стоящих на пересечении k строк и k столбцов (k  min(m, n)), называется минором k-го порядка матрицы А.

Например, для матрицы А = минорами второго порядка, например, являются определители:,, а один из миноров третьего порядка имеет вид .

Понятие определителя можно ввести и для матриц с элементами из любого поля. Тогда определитель есть также элемент этого поля. «Вычисление» такого определителя также можно проводить описанными выше приемами.