Тема 3 . Элементы векторной алгебры
3.1.Векторы и операции над ними.
Понятие вектора и простейшие операции над векторами вы изучали еще в школе. Вспомним кратко, что:
геометрический вектор – это направленный отрезок прямой. Обозначается вектор: а, , , , где А – начало вектора, В – конец; В математике рассматриваются только свободные векторы, т.е. векторы, начало которых выбирают произвольно.
длиной (модулем) вектора называется расстояние между его началом и концом, обозначается модуль вектора ||, или ||;
вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором, обозначается `0 или 0, направление этого вектора не определяется, дина его равна 0;
вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом;
вектор называется противоположным вектору , для вектора противоположный обозначается –.
два вектора называются равными, если они имеют равные модули и одинаково направлены, записывают: `a =`b .
н
Рис.5.1
енулевые векторы называютколлинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых, обозначают`а | |`b. Коллинеарные векторы называют сонаправленными, если их направления совпадают, обозначают`а `b, в противном случае векторы противоположно направленные, это обозначают `а `b;ортом вектора `а называется вектор `ао такой, что `а `ао и =1(рис.1);
ненулевые векторы называются компланарными, если они лежат в одной или в параллельных плоскостях;
углом между векторами называется наименьший угол, на который нужно повернуть один из них, чтобы направления этих векторов совпали; обозначают угол между векторами `а и`b символом ;
векторы называютсяортогональными, если угол между ними равен 90о; ортогональность векторов `а и`b обозначают `а `b ;
проекцией вектора а на вектор b называется число .
Линейными операциями над векторами называют сложение векторов и умножение вектора на число.
Суммойвекторов`аи`bназываетсявектор , который можно найти:
а) по правилу треугольника(рис. 2);
б) по правилу параллелограмма(рис.3).
Разностьвекторов `аи`b определяется равенством=+ (–`b), где () – вектор, противоположный векторуb.
Напомним, что в параллелограмме ОАСВ (рис.2) сумма есть вектор-диагональ , исходящая из общего начала О векторов и`b, а разность этих векторов есть другая вектор-диагональ – вектор, направленный из конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого.
Произведением вектора на число a ¹ 0 называется вектор a, модуль которого равен |a|.||, а направление совпадает с направлением вектора , если a > 0, и противоположно направлению вектора , если a < 0 (рис.4).
Используя операцию умножения и определение орта вектора, а можно записать: = ||.`ао и наоборот, `ао = .
Справедлива также следующая теорема:
Теорема3.1.
Векторы `а и`b коллинеарны тогда и только тогда, когда существует отличное от нуля число такое, что = .
Доказательство: 1) если = , 0, то , по определению произведения вектора на число, `а и`b коллинеарны.
2) Пусть `а и`b коллинеарны. Рассмотрим `ао и `bо, они, очевидно, тоже коллинеарны. Значит, либо `ао `bо, либо `ао `bо и |`ао| = |`bо| = 1. Но тогда либо `ао =`bо, `ао = –`bо, откуда =, или= –. Следовательно, либо, либо, но это и означает, что существует = такое, что = . ЧТД.
Нетрудно показать, что введенные выше линейные операции обладают свойствами:
1)
2)
3) + (–) =0
( + ) = +
() = ()
( + ) = +