Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
FK_3,5_2013_sem01 / Часть 1 Линейная алгебра / Векторная алгебра.doc
Скачиваний:
51
Добавлен:
24.03.2015
Размер:
582.14 Кб
Скачать

44

Тема 3 . Элементы векторной алгебры

3.1.Векторы и операции над ними.

Понятие вектора и простейшие операции над векторами вы изучали еще в школе. Вспомним кратко, что:

  • геометрический вектор – это направленный отрезок прямой. Обозначается вектор: а, , , , где А – начало вектора, В – конец; В математике рассматриваются только свободные векторы, т.е. векторы, начало которых выбирают произвольно.

  • длиной (модулем) вектора называется расстояние между его началом и концом, обозначается модуль вектора ||, или ||;

  • вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором, обозначается `0 или 0, направление этого вектора не определяется, дина его равна 0;

  • вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом;

  • вектор называется противоположным вектору , для вектора противоположный обозначается –.

  • два вектора называются равными, если они имеют равные модули и одинаково направлены, записывают: `a =`b .

  • н

    Рис.5.1

    енулевые векторы называютколлинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых, обозначают`а | |`b. Коллинеарные векторы называют сонаправленными, если их направления совпадают, обозначают`а `b, в противном случае векторы противоположно направленные, это обозначают `а `b;

  • ортом вектора `а называется вектор `ао такой, что `а `ао и =1(рис.1);

  • ненулевые векторы называются компланарными, если они лежат в одной или в параллельных плоскостях;

  • углом между векторами называется наименьший угол, на который нужно повернуть один из них, чтобы направления этих векторов совпали; обозначают угол между векторами `а и`b символом ;

  • векторы называютсяортогональными, если угол между ними равен 90о; ортогональность векторов `а и`b обозначают `а `b ;

  • проекцией вектора а на вектор b называется число .

Линейными операциями над векторами называют сложение векторов и умножение вектора на число.

Суммойвекторов`аи`bназываетсявектор , который можно найти:

а) по правилу треугольника(рис. 2);

б) по правилу параллелограмма(рис.3).

Разностьвекторов `аи`b определяется равенством=+ (–`b), где () – вектор, противоположный векторуb.

Напомним, что в параллелограмме ОАСВ (рис.2) сумма есть вектор-диагональ , исходящая из общего начала О векторов и`b, а разность этих векторов есть другая вектор-диагональ – вектор, направленный из конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого.

Произведением вектора на число a ¹ 0 называется вектор a, модуль которого равен |a|.||, а направление совпадает с направлением вектора , если a > 0, и противоположно направлению вектора , если a < 0 (рис.4).

Используя операцию умножения и определение орта вектора, а можно записать: = ||.`ао и наоборот, `ао = .

Справедлива также следующая теорема:

Теорема3.1.

Векторы `а и`b коллинеарны тогда и только тогда, когда существует отличное от нуля число  такое, что = .

Доказательство: 1) если = ,   0, то , по определению произведения вектора на число, `а и`b коллинеарны.

2) Пусть `а и`b коллинеарны. Рассмотрим `ао и `bо, они, очевидно, тоже коллинеарны. Значит, либо `ао `bо, либо `ао `bо и |`ао| = |`bо| = 1. Но тогда либо `ао =`bо, `ао = –`bо, откуда =, или= –. Следовательно, либо, либо, но это и означает, что существует  = такое, что = . ЧТД.

Нетрудно показать, что введенные выше линейные операции обладают свойствами:

1)

2)

3) + (–) =0

  1. ( + ) =  + 

  2. () = ()

  3. ( + ) =  + 