Приближённые вычисления

Если  ~  при , то, отбрасывая в равенстве бесконечно малую более высокого порядка, т.е. , получим приближённое равенство . Оно позволяет выражать одни бесконечно малые через другие.

Приведённые выше формулы справедливы при малых х, и они тем точнее чем меньше х.

На рисунках 20 24 проиллюстрированы некоторые из важнейших эквивалентностей, о которых говорилось выше. Например, графики функций и в окрестности точки О практически не различимы (рисунок 20), а кривая в окрестности точки О сливается с прямой (рисунок 21).

Пример Найти приближённое значение для .

Решение. . Для сравнения результата по таблице логарифмов находим, что .

1.4 Непрерывность функции Непрерывность функции в точке, в интервале и на отрезке

Определение. Пусть функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел в этой точке, т.е.

. (1)

Данное равенство означает выполнение трёх условий:

• функция определена в точке и в её окрестности;

• функция имеет предел при ;

• предел функции в точке равен значению функции в этой точке.

Так как , то равенство (1) можно записать в виде

. (2)

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функцию вместо аргумента х подставить его предельное значение .

Например, В равенстве функция и предел поменялись местами в силу непрерывности функции .

Пример Вычислить

Решение.

Можно дать ещё одно определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.

Пусть функция определена в некотором интервале . Возьмём произвольную точку . Для любого разность называется приращением аргумента х в точке и обозначается («дельта х»): . Отсюда .

Разность соответствующих значений функций называется приращением функции в точке и обозначается (или или ): или

(рисунок 25).

Очевидно, приращения и могут быть как положительными, так и отрицательными.

Запишем равенства (1) в новых обозначениях. Так как условия и одинаковы, то равенство (1) принимает вид или

(3)

Полученное равенство (3) является ещё одним определением непрерывности функции в точке.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в точке и её окрестности и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Исследуя непрерывность функции в точке, применяют либо равенство (1), либо равенство (3) определение.

Пример Исследовать на непрерывность функцию .

Решение. Функция определена при всех

Возьмём произвольную точку х и найдём приращение :

Тогда так как произведение ограниченной функции и б.м.ф. есть б.м.ф.

Согласно определению (3), функция непрерывна в точке х.

Аналогично доказывается, что функция также непрерывна.

Определение. Функция называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Определение. Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в интервале и в точке непрерывна справа , а в точке непрерывна слева