1. Предел функции

Предел функции в точке и при

Предел функции — основной аппарат математического анализа. С его помощью определяется в дальнейшем непрерывность функции, производная, интеграл, сумма ряда.

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может самой точки.

Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке.

Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне). Число b называется пределом функции y = f (x) в точке (или при ), если для любой последовательности допустимых значений аргументасходящейся к (т.е. ), последовательность соответствующих значений функции сходится к числуb (т.е. ).

В этом случае пишут или при. Геометрический смысл предела функции:означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке , соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа b.

Определение 2 (на «языке », или по Коши). Число b называется пределом функции y = f (x) в точке (или при ), если для любого положительного числа найдётся такое положительное число , что для всех удовлетворяющих неравенству, выполняется неравенство.

Записывают .

Это определение коротко можно записать так:

Заметим, что можно записать и так.

Геометрический смысл предела функции:, если для любой окрестности точки b найдётся такая окрестность точки , что для всех из этой окрестности соответствующие значения функции f (x) лежат в окрестности точки b. Иными словами, точки графика функции y = f (x) лежат внутри полосы шириной 2, ограниченной прямыми у = b + , у = b   (рисунок 17). Очевидно, что величина  зависит от выбора , поэтому пишут  = ().

Пример Доказать, что

Решение. Возьмём произвольное   0, найдём  = ()  0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Так как из  т.е. , то взяв , видим, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Следовательно,

Пример Доказать, что, если f (x) = с, то .

Решение. Для можно взять . Тогда при имеем . Следовательно, .

В определении предела функции считается, что х стремится к любым способом: оставаясь меньшим, чем (слева от ), большим, чем (справа от ), или колеблясь около точки .

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Определение. Число называетсяпределом функции y = f (x) слева в точке , если для любого числа   0 существует число  = ()  0, такое, что при , выполняется неравенство.

Предел слева записывается так или коротко (обозначение Дирихле) (рисунок 18).

Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов:

Коротко предел справа обозначается .

Пределы функции слева и справа называютсяодносторонними пределами. Очевидно, если существует ,то существуют оба односторонних предела, причём .

Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела ии они равны, то существует предели .

Если же , то не существует.

Определение. Пусть функция y = f (x) определена в промежутке . Числоb называется пределом функции y = f (x) при х  , если для любого числа   0 существует такое число М = М ()  0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство. Коротко это определение можно записать так:

Еслих  +, то пишут , если х  , то пишут , если =,то их общее значение принято обозначать .

Геометрический смысл этого определения таков: для , что приисоответствующие значения функцииy = f (x) попадают в окрестность точки b, т.е. точки графика лежат в полосе шириной 2, ограниченной прямыми и(рисунок 19).