Решение.

Уравнение движения ракеты имеет вид:

.

Так как по условию ракета движется в отсутствие внешних сил, то .

Расход топлива равен:

Тогда уравнение движения имеет вид:

.

Интегрируя это уравнение, получим:

.

1.79. Тележка с песком движется по горизонтальной плоскости под действием постоянной силы , совпадающей по направлению с вектором скорости. При этом песок высыпается через отверстие в дне с постоянной скоростью кг/сек. Найти ускорение и скорость тележки в момент времени t, если в начальный момент t = 0 тележка с песком имела массу m₀ и ее скорость была равна нулю. Трением пренебречь.

Решение.

Пусть в начальный момент времени t тележка имела массу m₀ и скорость (относительно интересующей нас системы отсчета). Рассмотрим инерциальную систему отсчета, имеющую ту же скорость, что и тележка в данный момент времени. В этой системе отсчета приращение импульса системы «тележка-песок» за времяdt равно:

.

С другой стороны

.

Тогда получаем:

.

Для определения скорости в момент времени t проинтегрируем полученное выражение:

.

1.80. Платформа А массы т начинает двигаться вправо под действием постоянной силы . Из бункераВ на нее высыпается песок. Скорость погрузки постоянна и равна  кг/сек. Найти зависимость от времени скорости и ускорения платформы в процессе погрузки. Трением в колесах пренебречь.

Решение.

Пусть в некоторый момент времени t платформа имела массу m + t и скорость (относительно интересующей нас системы отсчета). Рассмотрим инерциальную систему отсчета, имеющую ту же скорость, что и тележка в данный момент времени. В этой системе отсчета приращение импульса системы «тележка-песок» за времяdt равно:

С другой стороны

.

Тогда получаем:

.

Для определения зависимости ускорения от времени продифференцируем данное выражение по времени:

.

1.76. Пушка массы М начинает свободно скользить вниз по наклонной плоскости, составляющей угол  с горизонтом. Когда пушка прошла путь l, произвели выстрел в горизонтальном направлении, в результате которого снаряд вылетел с импульсом р, а сама пушка остановилась. Пренебрегая массой снаряда по сравнению с массой пушки найти продолжительность выстрела .

Решение.

Приращение импульса системы равно:

.

Проекция силы тяжести на ось x равна:

.

Проекция начального импульса пушки на ось x равна:

.

Проекция конечного импульса пушки на ось x равна:

.

Тогда получаем:

1.73. Через неподвижный блок перекинута веревка, на одном конце которой висит лестница с человеком, а на другом — уравновешивающий груз массы М. Человек, масса которого т, медленно совершил перемещение относительно лестницы вверх и остановился. Пренебрегая массами блока и веревки и трением в блоке, найти перемещение центра инерции этой системы.

Решение.

Искомое перемещение аналогично задаче 1.72 равно:

.

Суммарный момент сил, действующих на систему относительно горизонтальной оси равен нулю, поэтому для начального положения системы имеем:

.

После перемещения плота имеем:

Подставив полученные значения в формулу для l, получим:

.

12